Как составить смету самому образец: Смета на работы — образец, бланк и пример составления

Статьи по теме

Практическое руководство для малого бизнеса

6 мин. Читать

1. Ступица
2. Оценки
3. Составление сметы за 5 шагов: практическое руководство для малого бизнеса

1. Обзор содержания проекта

• Хотите увидеть полную разбивку затрат?
• Хотите увидеть подробную разбивку услуг?
• Какие услуги вам требуются?
• Какие услуги вам не требуются?
• Какая у вас ожидаемая дата завершения?
• Что вы ожидаете от этого проекта?

2. Оценить график

3. Цена у субподрядчиков

4. Оценка материальных затрат

• Например, графический дизайнер, которому нужно купить новый компьютер, спишет этот элемент в свои налоги, а не взимает плату за компьютер со своего нового клиента.

5. Оцените конкурс

Что такое пример оценки?

• Оказываемые услуги
• Стоимость
• Названия и реквизиты поставщиков и клиентов
• Дата выпуска
• Сметный номер

• Объем проекта (что в него входит)
• Исключения (что не входит в проект)
• Хронология
• Срок сдачи
• Условия использования

Какие есть бесплатные сметы затрат на строительство?

• Оценщик Easy-Pro Builders. Он имеет разные рабочие листы для разных профессий и автоматически рассчитывает затраты на рабочую силу и материалы, а также налоги (по странам). Это отличный вариант для малого бизнеса.
• Многофункциональный калькулятор Бесплатно. Это бесплатное приложение для Android помогает выполнять расчеты, связанные со строительством.
• Строительный калькулятор. Это бесплатное приложение работает на всех устройствах и помогает рассчитать количество материалов, которые вам понадобятся для проекта.

СТАТЬИ ПО ТЕМЕ

Глава 10 Оценка неизвестных величин по выборке

Во всех примерах IQ в предыдущих разделах мы фактически знали параметры генеральной совокупности заранее. Поскольку каждый студент на своей самой первой лекции по измерению интеллекта учится, показатель IQ составляет , определенный как , чтобы иметь среднее значение 100 и стандартное отклонение 15. Однако это немного ложь. Как мы узнаем, что истинное среднее значение IQ равно 100? Что ж, мы знаем это, потому что люди, которые разработали тесты, проводили их с очень большими выборками, а затем «подстроили» правила подсчета баллов так, чтобы их выборка имела среднее значение 100.Это, конечно, неплохо: это важная часть разработки психологического измерения. Однако важно помнить, что это теоретическое среднее значение 100 относится только к совокупности, которую разработчики тестов использовали для разработки тестов. Хорошие разработчики тестов на самом деле пойдут на многое, чтобы разработать «нормы тестирования», которые могут применяться ко множеству разных групп населения (например, разных возрастных групп, национальностей и т. Д.).

Это очень удобно, но, конечно же, почти каждый интересующий исследовательский проект включает изучение популяции людей, отличных от тех, которые используются в нормах тестирования.Например, предположим, что вы хотите измерить эффект отравления свинцом низкой концентрации на когнитивные функции в Порт-Пири, промышленном городе Южной Австралии, где есть свинцовый завод. Возможно, вы решите сравнить показатели IQ людей в Порт-Пири с сопоставимой выборкой в ​​Уайалле, промышленном городе в Южной Австралии, где расположен сталелитейный завод. Независимо от того, о каком городе вы думаете, не имеет большого смысла просто предполагать , что истинное среднее значение IQ населения составляет 100.Насколько мне известно, никто не предоставил разумных нормативных данных, которые можно было бы автоматически применить к промышленным городам Южной Австралии. Нам нужно будет оценить параметры генеральной совокупности на основе выборки данных. Итак, как мы это сделаем?

Оценка среднего населения

Предположим, мы едем в Порт Пири, и 100 местных жителей достаточно любезны, чтобы пройти тест на IQ. Средний показатель IQ среди этих людей оказался \ (\ bar {X} = 98,5 \). Итак, каков истинный средний IQ для всего населения Порт-Пири? Очевидно, мы не знаем ответа на этот вопрос.Это может быть \ (97,2 \), но может быть и \ (103,5 \). Наша выборка не является исчерпывающей, поэтому мы не можем дать окончательный ответ. Тем не менее, если бы меня под дулом пистолета заставили дать «лучшее предположение», я бы сказал \ (98,5 \). В этом суть статистической оценки: дать наилучшее предположение.

В этом примере оценить неизвестный параметр разрастания несложно. Я вычисляю выборочное среднее и использую его как свою оценку для среднего значения генеральной совокупности . Это довольно просто, и в следующем разделе я объясню статистическое обоснование этого интуитивного ответа.Однако на данный момент я хочу убедиться, что вы осознаете, что статистика выборки и оценка параметра совокупности концептуально разные вещи. Выборочная статистика — это описание ваших данных, тогда как оценка — это предположение о генеральной совокупности. Имея это в виду, статистики часто используют разные обозначения для их обозначения. Например, если истинное среднее значение совокупности обозначено \ (\ mu \), тогда мы будем использовать \ (\ hat \ mu \) для обозначения нашей оценки среднего значения совокупности. Напротив, выборочное среднее обозначается \ (\ bar {X} \) или иногда \ (m \).Однако в простых случайных выборках оценка среднего генерального значения идентична выборочному среднему: если я наблюдаю выборочное среднее значение \ (\ bar {X} = 98,5 \), то моя оценка среднего генерального значения также будет \ ( \ hat \ mu = 98,5 \). Вот удобная таблица, чтобы упростить обозначения:

  knitr :: kable (data.frame (stringsAsFactors = ЛОЖЬ,
                   Symbol = c ("$ \\ bar {X} $", "$ \\ mu $", "$ \\ hat {\\ mu} $"),
              What.is.it = c ("Среднее значение выборки", "Истинное среднее значение генеральной совокупности",
                              «Оценка среднего населения»),
   Делать.we.know.what.it.is = c ("Да, рассчитано по необработанным данным",
                              "Почти никогда не известно наверняка",
                              "Да тождественно среднему образцу")))  

Оценка стандартного отклонения совокупности

Пока что оценка кажется довольно простой, и вам может быть интересно, почему я заставил вас прочитать все эти вещи о теории выборки.В случае среднего значения наша оценка параметра совокупности (то есть \ (\ hat \ mu \)) оказалась идентичной соответствующей статистике выборки (то есть \ (\ bar {X} \)). Однако это не всегда так. Чтобы убедиться в этом, давайте подумаем, как построить оценку стандартного отклонения совокупности , которую мы обозначим \ (\ hat \ sigma \). Что мы будем использовать в качестве оценки в этом случае? Ваша первая мысль может заключаться в том, что мы могли бы сделать то же самое, что и при оценке среднего, и просто использовать статистику выборки в качестве нашей оценки.Это почти то, что нужно сделать, но не совсем.

Вот почему. Предположим, у меня есть образец, содержащий одно наблюдение. В этом примере полезно рассмотреть выборку, в которой у вас нет никаких предположений о том, какими могут быть истинные значения генеральной совокупности, поэтому давайте воспользуемся чем-нибудь полностью вымышленным. Предположим, что рассматриваемое наблюдение измеряет яркости моих туфель. Оказалось, что у моих туфель цветность 20. Итак, вот мой образец:

  20  

Это вполне законная выборка, даже если ее размер составляет \ (N = 1 \).Он имеет выборочное среднее 20, и поскольку каждое наблюдение в этой выборке равно выборочному среднему (очевидно!), У него есть стандартное отклонение выборки, равное 0. В качестве описания образца это кажется совершенно правильным: образец содержит единичное наблюдение, и, следовательно, в выборке не наблюдается никаких изменений. Пример стандартного отклонения \ (s = 0 \) — правильный ответ. Но как оценка стандартного отклонения населения на , это кажется совершенно безумным, не так ли? По общему признанию, мы с вами вообще ничего не знаем о том, что такое «cromulence», но мы кое-что знаем о данных: единственная причина, по которой мы не видим какой-либо изменчивости в образце , заключается в том, что образец слишком мал для отображать любые вариации! Итак, если у вас размер выборки \ (N = 1 \), воспринимается как , как будто правильный ответ — просто сказать «совсем не знаю».

Обратите внимание, что у вас, , нет той же интуиции, что и у , когда дело касается выборочного среднего и генерального среднего. Если вы вынуждены делать наилучшее предположение о среднем населении, не будет казаться совершенно безумным предположение, что среднее значение для населения равно 20. Конечно, вы, вероятно, не будете чувствовать себя очень уверенно в этом предположении, потому что у вас есть только одно наблюдение для работать, но это все равно лучшее предположение, которое вы можете сделать.

Давайте немного расширим этот пример. Предположим, я сделаю второе наблюдение.В моем наборе данных теперь есть \ (N = 2 \) наблюдений за цветностью обуви, и теперь полная выборка выглядит так:

  20, 22  

На этот раз наша выборка составляет , всего достаточно, чтобы мы могли наблюдать некоторую изменчивость: два наблюдения — это минимальное количество, необходимое для того, чтобы можно было наблюдать любую изменчивость! Для нашего нового набора данных выборочное среднее равно \ (\ bar {X} = 21 \), а стандартное отклонение выборки равно \ (s = 1 \). Какое у нас представление о населении? Опять же, что касается среднего значения генеральной совокупности, лучшее предположение, которое мы можем сделать, — это выборочное среднее: если мы будем вынуждены предполагать, мы, вероятно, догадаемся, что средняя численность населения равна 21.А как насчет стандартного отклонения? Это немного сложнее. Стандартное отклонение выборки основано только на двух наблюдениях, и если вы вообще похожи на меня, у вас, вероятно, есть интуиция, что всего с двумя наблюдениями мы не дали населению «достаточно шансов» выявить его истинную изменчивость. нам. Дело не только в том, что мы подозреваем, что оценка неверна, : в конце концов, имея только два наблюдения, мы ожидаем, что она в какой-то степени неверна. Беспокоит то, что ошибка систематическая .В частности, мы подозреваем, что стандартное отклонение выборки, вероятно, будет меньше, чем стандартное отклонение генеральной совокупности.

Рисунок 10.11: Выборочное распределение стандартного отклонения выборки для эксперимента «два показателя IQ». Истинное стандартное отклонение совокупности составляет 15 (пунктирная линия), но, как вы можете видеть из гистограммы, подавляющее большинство экспериментов дадут гораздо меньшее стандартное отклонение выборки, чем это. В среднем, в этом эксперименте стандартное отклонение выборки будет всего 8.5, что значительно ниже истинного значения! Другими словами, стандартное отклонение выборки — это смещенная на оценка стандартного отклонения генеральной совокупности.

Эта интуиция кажется правильной, но было бы неплохо как-то это продемонстрировать. На самом деле есть математические доказательства, подтверждающие эту интуицию, но если у вас нет правильного математического образования, они не очень помогают. Вместо этого я буду использовать R для моделирования результатов некоторых экспериментов. Имея это в виду, давайте вернемся к нашим исследованиям IQ.Предположим, что истинное среднее значение IQ в популяции равно 100, а стандартное отклонение — 15. Я могу использовать функцию rnorm () для получения результатов эксперимента, в котором я измеряю \ (N = 2 \) баллов IQ, и вычисляю стандартное отклонение выборки. Если я буду делать это снова и снова и построить гистограмму этих стандартных отклонений выборки, то у меня будет выборочное распределение для стандартного отклонения . Я изобразил это распределение на рис. 10.11. Несмотря на то, что истинное стандартное отклонение генеральной совокупности составляет 15, среднее значение из стандартных отклонений выборки составляет всего 8.5. Обратите внимание, что это сильно отличается от того, что мы обнаружили на рис. 10.8, когда построили выборочное распределение среднего. Если вы посмотрите на это распределение выборки, то увидите, что среднее значение генеральной совокупности равно 100, и среднее значение выборки также равно 100.

Теперь давайте расширим симуляцию. Вместо того чтобы ограничиваться ситуацией, когда размер выборки равен \ (N = 2 \), давайте повторим упражнение для размеров выборки от 1 до 10. Если мы построим среднее значение выборки и среднее стандартное отклонение выборки как функцию от размер выборки, вы получите результаты, показанные на рисунке 10.12. С левой стороны (панель a) я нанес среднее значение выборки, а с правой стороны (панель b) — среднее стандартное отклонение. Эти два графика совершенно разные: в среднем , среднее выборочное среднее равно среднему генеральному. Это несмещенная оценка , что, по сути, является причиной того, почему ваша лучшая оценка для среднего значения генеральной совокупности является выборочным средним. График справа совершенно другой: в среднем стандартное отклонение выборки \ (s \) на меньше, чем на стандартное отклонение генеральной совокупности \ (\ sigma \).Это смещенный оценщик . Другими словами, если мы хотим сделать «наилучшее предположение» \ (\ hat \ sigma \) о значении стандартного отклонения совокупности \ (\ sigma \), мы должны убедиться, что наше предположение немного больше, чем стандартное отклонение выборки \ (s \).

Рисунок 10.12: Иллюстрация того факта, что выборочное среднее является несмещенной оценкой среднего значения генеральной совокупности (панель a), а стандартное отклонение выборки является смещенной оценкой стандартного отклонения генеральной совокупности (панель b).Чтобы получить цифру, я сгенерировал 10 000 смоделированных наборов данных с 1 наблюдением в каждом, еще 10 000 с 2 наблюдениями и так далее до размера выборки 10. Каждый набор данных состоял из поддельных данных IQ: то есть данные были нормально распределены. при истинном среднем генеральной совокупности 100 и стандартном отклонении 15. В среднем средние значения выборки оказываются равными 100, независимо от размера выборки (панель a). Однако стандартные отклонения выборки оказываются систематически слишком малыми (панель b), особенно для малых размеров выборки.2} \], а когда мы используем встроенную в R функцию стандартного отклонения sd () , она вычисляет \ (\ hat \ sigma \), а не \ (s \).

И последнее: на практике многие люди склонны ссылаться на \ (\ hat {\ sigma} \) (т.е. формулу, в которой мы делим на \ (N-1 \)) как на образец , стандартное отклонение . . Технически это неверно: стандартное отклонение выборки должно быть равно \ (s \) (то есть формуле, в которой мы делим на \ (N \)). Это не одно и то же ни концептуально, ни численно.Одно — свойство выборки, другое — оценочная характеристика совокупности. Однако почти в каждом реальном приложении нас действительно волнует оценка параметра численности, поэтому люди всегда сообщают \ (\ hat \ sigma \), а не \ (s \). Это правильное число, конечно, потому что люди склонны быть немного неточными в терминологии, когда пишут их, потому что «стандартное отклонение выборки» короче, чем «оценочное стандартное отклонение совокупности».В этом нет ничего страшного, и на практике я делаю то же, что и все остальные. Тем не менее, я думаю, что важно разделять две концепции : никогда не стоит путать «известные свойства вашей выборки» с «предположениями о популяции, из которой она произошла». В тот момент, когда вы начинаете думать, что \ (s \) и \ (\ hat \ sigma \) — это одно и то же, вы начинаете делать именно это.

Чтобы завершить этот раздел, вот еще пара таблиц, которые помогут прояснить ситуацию:

  knitr :: kable (данные.2 $ "),
              What.is.it = c ("Стандартное отклонение выборки",
                              «Стандартное отклонение населения»,
                              «Оценка стандартного отклонения генеральной совокупности», «Дисперсия выборки»,
                              «Дисперсия населения»,
                              «Оценка дисперсии генеральной совокупности»),
   Do.we.know.what.it.is = c ("Да - рассчитано по необработанным данным",
                              "Почти никогда не известно наверняка",
                              «Да, но не то же самое, что стандартное отклонение выборки»,
                              «Да - рассчитано по необработанным данным»,
                              "Почти никогда не известно наверняка",
                              «Да - но не то же самое, что и выборочная дисперсия»)
))  

6 Оценка и проверка гипотез

• Центральная предельная теорема в двух словах: если бы несколько выборок одного размера были отобраны случайным образом и независимо от генеральной совокупности, то выборочное распределение средних значений этих выборок было бы приблизительно нормальным независимо от формы основного распределения совокупности, как пока размер выборки достаточно велик.Этот результат составляет основу большинства статистических выводов и, следовательно, большинства статистических анализов, с которыми вы столкнетесь. Вы часто будете слышать термин «нормальное приближение»; это относится к выводу, основанному на центральной предельной теореме.
• Выборочное распределение — это распределение вероятностей; это теоретическая конструкция, математически выведенная на основе независимых и случайных процессов. В большинстве статистических анализов для вывода используется распределение выборки, следовательно, чтобы сделать верный вывод, нам также необходимо предположить, что единицы наблюдения в нашей выборке независимы и зависят от процесса случайной выборки.
• Среднее и стандартное отклонение (стандартная ошибка) выборочных распределений для разных точечных оценок вычисляются по-разному (в этом разделе вы увидите два примера — выборочное среднее и выборочное соотношение), но основная форма доверительного интервала и основная форма статистики теста для проверки гипотезы одинаковы.
• Доверие к доверительному интервалу заранее определено нами. Уверенность в методе, а не в результате. Большинство доверительных интервалов имеют следующую форму: оценка плюс или минус выбранное количество стандартных ошибок.Выбранное число называется коэффициентом достоверности и выбирается для создания желаемого уровня достоверности.
• Тестовая статистика из теста гипотезы измеряет, на сколько стандартных ошибок наблюдаемая точечная оценка отличается от ожидаемого значения нулевой гипотезы. Если наблюдаемое значение слишком много стандартных ошибок от ожидаемого значения, мы не верим нулевой гипотезе или есть доказательства против нее (фальсификация).
• Практически вся статистика тестов имеет следующий вид:

(статистика выборки — значение параметра с нулевой гипотезой) / стандартная ошибка

• Доверительные интервалы и проверка гипотез напрямую связаны.Доверительные интервалы можно использовать для проверки обоснованности утверждений о параметре. Если кто-то утверждает, что параметр равен 62, а 62 находится за пределами вашего доверительного интервала, то это утверждение является подозрительным. Вот еще одно различие между тем, что нам говорят p-значение и CI: p-значение отвечает на вопрос «Насколько удивительна моя выборка?» Доверительный интервал может ответить на вопрос: «Какие значения параметра генеральной совокупности заставят меня не удивиться выборке?»

Простая случайная выборка: анализ

В этом уроке описывается, как оценить среднее значение или долю генеральной совокупности на основе данных обследования из простой случайной выборки.Хороший Анализ должен дать два выхода:

Во-первых, мы шаг за шагом опишем, как провести хороший анализ. Затем проиллюстрируем анализ с проблемой образца.

Как анализировать данные обследования

Любой хороший анализ данных выборки обследования включает те же семь шагов:

• Оценить параметр генеральной совокупности.
• Оценить дисперсию совокупности.
• Вычислить стандартную ошибку.
• Укажите уровень достоверности.
• Найдите критическое значение (часто z-оценку или t-оценку).
• Вычислить погрешность.
• Определите доверительный интервал.

Давайте внимательнее рассмотрим каждый шаг — что мы делаем на каждом шаге и почему мы это делаем. Когда понимаешь, что происходит на самом деле, Вам будет легче правильно применять формулы и интерпретировать аналитические выводы.

Примечание: Формулы, представленные ниже, подходят только для простой случайной выборки.

Оценка среднего значения или доли совокупности

Первым шагом в анализе является разработка точечной оценки для среднего населения или доли.Используйте эту формулу для оценки среднего значения генеральной совокупности:

Среднее значение выборки = x = Σx / n

, где Σx — это сумма всех выборочных наблюдений, а n — количество выборочных наблюдений.

Пропорция — это частный случай среднего. Он представляет собой количество наблюдений с определенным атрибутом, разделенное на общее количество наблюдений в группе. Используйте эту формулу для оценки доли населения:

Поскольку разные выборки могут давать разные точечные оценки, вы можете быть уверены что оценка из вашей выборки , а не в точности равно истинному значению параметра совокупности.

Следовательно, вам нужен способ выразить неопределенность, присущую вашей оценке. Остальные шесть шагов анализа: ориентирована на количественную оценку неопределенности вашей оценки.

Оценка дисперсии совокупности

Дисперсия — это числовое значение, используемое для измерить вариативность наблюдений в группе. Если отдельные наблюдения сильно отличаются от среднего значения группы, разница большая; наоборот.

Для простой случайной выборки наилучшая оценка дисперсии генеральной совокупности:

с ² = Σ (x _i — x) ² / (n — 1)

, где с ² — выборочная оценка дисперсии генеральной совокупности, x — среднее значение выборки, x _i — это i -й элемент из выборки, а n — количество элементов в выборке.

С помощью пропорции дисперсию генеральной совокупности можно оценить по выборке как:

с ² = [n / (n — 1)] * p * (1 — p)

где s ² — это выборочная оценка дисперсии генеральной совокупности, p — выборочная оценка доли генеральной совокупности, а n — количество элементов в выборке.

Почему нам важна дисперсия населения? Дисперсия необходима для вычисления стандартной ошибки. И почему мы заботишься о стандартной ошибке? Читай дальше.

Стандартная ошибка вычислений

Стандартная ошибка, вероятно, самая важная результат нашего анализа. Это позволяет нам вычислить погрешность и доверительный интервал.

Когда мы оцениваем среднее значение или долю по простой случайной выборке, стандартная ошибка (SE) оценки составляет:

SE = sqrt [(1 — n / N) * s ² / n]

, где n — размер выборки, N — размер генеральной совокупности, а s — выборочная оценка стандартного отклонения генеральной совокупности.

Считайте стандартную ошибку стандартным отклонением. выборочной статистики. В выборке обследования обычно есть много различных подгрупп населения, которые мы можем выбрать для анализа. Каждый разный выборка может дать другую оценку значения параметра совокупности. Стандартная ошибка обеспечивает количественное мера изменчивости этих оценок.

Определение уровня достоверности

При выборке обследования различные выборки могут быть случайным образом отобраны из одной и той же генеральной совокупности; и каждый образец часто может давать различный доверительный интервал.Некоторые доверительные интервалы включают параметр истинной популяции; другие нет.

Уровень достоверности относится к проценту всех возможных выборок, дающих доверительные интервалы, включающие параметр истинной генеральной совокупности. Например, предположим, что все возможные выборки были отобраны из одной и той же совокупности, и доверительный интервал был вычислен для каждой выборки. Уровень достоверности 95% означает, что 95% доверительных интервалов будут включать параметр истинной совокупности.

В рамках анализа исследователи выбирают уровень достоверности.Вероятно, наиболее часто выбираемый уровень достоверности — 95%.

Нахождение критического значения

Часто выражается в виде t-балла или z-score, критическое значение — это фактор, используемый для вычисления погрешности. Чтобы найти критическое значение, выполните следующие действия:

• Вычислите альфа (α): α = 1 — (уровень достоверности / 100)
• Найдите критическую вероятность (p *): p * = 1 — α / 2
• Чтобы выразить критическое значение как z-оценку, найдите z-оценку, имеющую совокупная вероятность равной критической вероятности (p *).
• Чтобы выразить критическое значение в виде статистики t, выполните следующие действия:
  • Найдите степени свободы (df). Когда вы оцениваете среднее значение или долю по простой случайной выборке, степени свободы равны размеру выборки минус один.
  • Критическая t-статистика (t *) — это t-статистика, имеющая степени свободы, равные df и a кумулятивная вероятность равна критической вероятности (p *).

Исследователи используют t-оценку, когда размер выборки невелик; z-счет, когда он большой (не менее 30).Вы можете использовать калькулятор нормального распределения, чтобы найти критический z-показатель, а t Калькулятор распределения, чтобы найти критическую статистику t.

Расчетная погрешность

Погрешность выражает максимальную ожидаемую разницу между истинным параметром совокупности и выборочной оценкой этого параметра.

Вот формула для вычисления допустимой погрешности (ME):

ME = SE * CV

, где SE — стандартная ошибка, а CV — критическое значение.

Определение доверительного интервала

Статистики используют доверительный интервал для выражения степени неопределенности, связанной с выборкой статистики. Доверительный интервал — это оценка интервала в сочетании с утверждением вероятности.

Вот как вычислить минимальное и максимальное значения для доверительного интервала.

В приведенной выше таблице x — выборочная оценка среднего генерального значения, p — выборочная оценка доли населения, SE — это стандартная ошибка, а CV — критическое значение (z-оценка или t-оценка).И, доверительный интервал — это оценка интервала, которая находится в диапазоне от CI _min до CI _max .

Образец задачи

В этом разделе представлен образец задачи, который иллюстрирует, как анализировать опрос данные, когда метод выборки представляет собой простую случайную выборку, а интересующий параметр представляет собой средний балл. (В на следующем уроке мы повторно посетим эту задачу и посмотрим, насколько просто случайная выборка сравнивается с другими методами выборки.)

Калькулятор размера выборки

Анализ данных, собранных с помощью простой случайной выборки, может быть сложным и сложным. кропотливый.Калькулятор размера выборки Stat Trek может помочь. Калькулятор вычисляет стандартная ошибка, предел погрешности и доверительные интервалы. Он оценивает требования к размеру выборки, оценивает параметры популяции и гипотезы проверки. Калькулятор бесплатно. Вы можете найти калькулятор размера выборки в Stat Trek’s главное меню на вкладке Stat Tools. Или вы можете нажать кнопку ниже.

Задача 1

В конце каждого учебного года штат проводит тест по чтению для простая случайная выборка, составленная без замены из 20000 человек. третьеклассники.В этом году тест прошли 36 студентов, отобранных через простая случайная выборка. Показан результат теста каждого учащегося, включенного в выборку. ниже:

50, 55, 60, 62, 62, 65, 67, 67, 70, 70, 70, 70, 72, 72, 73, 73, 75, 75,
75, 78, 78, 78, 78 , 80, 80, 80, 82, 82, 85, 85, 85, 88, 88, 90, 90, 90

Используя выборочные данные, оцените средний уровень успеваемости по чтению в Население. Найдите маржу ошибки и доверительного интервала. Предположите уровень достоверности 95%.

Решение: Чтобы решить эту проблему, мы следуем семиэтапному процессу, описанному выше.

• Оценить среднее значение для населения. Поскольку мы пытаемся оценить среднее значение генеральной совокупности, мы выбираем среднее значение выборки как образец статистики. Среднее значение по выборке:

  x = Σ (x _i ) / n

  x = (50 + 55 + 60 + … + 90 + 90 + 90) / 36 = 75

  Следовательно, на основании данных простой случайной выборки, мы оцениваем, что среднее Уровень успеваемости населения по чтению равен 75.
• Оценить дисперсию населения. Сейчас нам нужно оценить дисперсию совокупности, чтобы мы могли вычислить стандартную ошибку на следующем шаге.

  с ² = Σ (x _i — x) ² / (n — 1)

  с ² = [(50-75) ² + (55-75) ² + (60–75) ² + … + (90 — 75) ² + (90 — 75) ² ] / 29 = 98,97

• Стандартная ошибка вычисления. Стандартная ошибка измеряет изменчивость нашей выборочной оценки среднего значения генеральной совокупности. Мы будет использовать стандартную ошибку для вычисления погрешности и определения уровня достоверности.

  SE = sqrt [(1 — n / N) * s ² / n]

  SE = sqrt [(1 — 36 / 20,000) * 98.97/36]

  SE = sqrt [(0,998) * 98,97 / 36] = 1,66

• Выберите уровень достоверности. В этом анализе для нас определяется уровень уверенности в проблеме. Мы работаем с 95% уровень уверенности.
• Найдите критическое значение. Критическое значение — это коэффициент, используемый для расчета погрешности. Чтобы найти критическое значение, мы предпринимаем следующие шаги.
  • Вычислить альфа (α):

    α = 1 — (уровень достоверности / 100)

    α = 1 — 95/100 = 0,05

  • Найдите критическую вероятность (p *):

    p * = 1 — α / 2 = 1 — 0.05/2 = 0,975

  • Поскольку размер выборки (n = 36) больше 30, мы можем выразить критическое значение в виде z-показателя. Критическим значением является z-оценка, имеющая кумулятивная вероятность равна 0,975. Из Калькулятор нормального распределения, мы находим, что критическое значение составляет 1,96.
• Вычислить предел погрешности (ME):

  ME = критическое значение * стандартная ошибка

  ME = 1,96 * 1,66 = 3,25

• Укажите доверительный интервал. Минимальное и максимальное значения доверительного интервала:

  CI _min = x — SE * CV = 75 — 1.66 * 1,96 = 71,75

  CI _max = x + SE * CV = 75 + 1,66 * 1,96 = 78,25

В итоге, вот результаты нашего анализа. Основываясь на данных выборки, мы оцениваем, что среднее значение для генеральной совокупности составляет 75. При уровне достоверности 95% погрешность этой оценки составляет 3,25; а 95% доверительный интервал — от 71,75 до 78,25.

Определение мощности и размера выборки

Определение мощности и размера выборки

Автор:

Лиза Салливан, доктор философии

Профессор биосатистики

Школа общественного здравоохранения Бостонского университета

Критически важным аспектом любого исследования является определение подходящего размера выборки для ответа на исследовательский вопрос.В этом модуле основное внимание уделяется формулам, которые можно использовать для оценки размера выборки, необходимого для получения оценки доверительного интервала с заданным пределом погрешности (точности) или для гарантии того, что проверка гипотезы имеет высокую вероятность обнаружения значимой разницы в параметр.

Исследования должны быть разработаны таким образом, чтобы включать достаточное количество участников для адекватного ответа на вопрос исследования. Исследования, в которых участвует либо недостаточное количество участников, либо чрезмерно большое количество участников, расточительны с точки зрения времени участников и исследователей, ресурсов для проведения оценок, аналитических усилий и т. Д.Эти ситуации также можно рассматривать как неэтичные, поскольку участники могли подвергнуться риску в рамках исследования, которое не смогло ответить на важный вопрос. Исследования, которые намного больше, чем они должны быть, чтобы ответить на вопросы исследования, также расточительны.

Формулы, представленные здесь, позволяют оценить необходимый размер (а) выборки на основе статистических критериев. Однако во многих исследованиях размер выборки определяется финансовыми или логистическими ограничениями. Например, предположим, что предлагается исследование для оценки нового скринингового теста на синдром Дауна.Предположим, что скрининговый тест основан на анализе образца крови, взятого у женщины на ранних сроках беременности. Чтобы оценить свойства скринингового теста (например, чувствительность и специфичность), каждой беременной женщине будет предложено сдать образец крови и, в дополнение, пройти амниоцентез. Амниоцентез включен в качестве золотого стандарта, и его план состоит в том, чтобы сравнить результаты скринингового теста с результатами амниоцентеза. Предположим, что сбор и обработка образца крови стоит 250 долларов на участника, а амниоцентез — 900 долларов на участника.Одни только эти финансовые ограничения могут существенно ограничить число женщин, которые могут быть зачислены. Точно так же, как важно учитывать статистическую и клиническую значимость при интерпретации результатов статистического анализа, важно также взвесить как статистические, так и логистические вопросы при определении размера выборки для исследования.

После завершения этого модуля студент сможет:

1. Приведите примеры, демонстрирующие, как предел погрешности, размер эффекта и изменчивость результата влияют на вычисления размера выборки.
2. Рассчитайте размер выборки, необходимый для точной оценки параметров генеральной совокупности.
3. Интерпретировать статистическую мощность при проверке гипотез.
4. Вычислите размер выборки, необходимый для обеспечения высокой мощности при проверке гипотез.

Модуль доверительных интервалов предоставляет методы оценки доверительных интервалов для различных параметров (например, μ, p, (μ ₁ — μ ₂ ), μ _d , (p ₁ -p ₂ ) )).Доверительные интервалы для каждого параметра имеют следующий общий вид:

балла + Погрешность

В модуле доверительных интервалов мы вывели формулу доверительного интервала для μ как

На практике мы используем стандартное отклонение выборки для оценки стандартного отклонения генеральной совокупности. Обратите внимание, что существует альтернативная формула для оценки среднего значения непрерывного результата в одной генеральной совокупности, и она используется, когда размер выборки невелик (n <30).Он включает значение из распределения t, в отличие от значения из стандартного нормального распределения, чтобы отразить желаемый уровень достоверности. При выполнении вычислений размера выборки мы используем формулу для большой выборки, показанную здесь. [Примечание: размер результирующей выборки может быть небольшим, и на этапе анализа необходимо использовать соответствующую формулу доверительного интервала.]

Точечная оценка среднего для генеральной совокупности является выборочным средним, а предел погрешности составляет

При планировании исследований мы хотим определить размер выборки, необходимый для обеспечения того, чтобы предел погрешности был достаточно малым, чтобы быть информативным.Например, предположим, что мы хотим оценить средний вес студенток колледжа. Мы проводим исследование и получаем 95% доверительный интервал следующим образом: 125 + 40 фунтов, или от 85 до 165 фунтов. Предел погрешности настолько велик, что доверительный интервал неинформативен. Чтобы быть информативным, исследователь может захотеть, чтобы предел погрешности составлял не более 5 или 10 фунтов (это означает, что 95% доверительный интервал будет иметь ширину (от нижнего предела до верхнего предела) 10 или 20 фунтов). Чтобы определить необходимый размер выборки , исследователь должен указать желаемую погрешность .Важно отметить, что это не статистический вопрос, а клинический или практический. Например, предположим, что мы хотим оценить средний вес при рождении младенцев, рожденных матерями, которые курят сигареты во время беременности. Вес при рождении у младенцев явно имеет гораздо более ограниченный диапазон, чем у студенток колледжа. Следовательно, мы, вероятно, захотим создать доверительный интервал для среднего веса при рождении, который имеет погрешность, не превышающую 1–2 фунта.

Предел погрешности в доверительном интервале одной выборки для μ можно записать следующим образом:

.

Наша цель — определить размер выборки n, при котором предел погрешности « E » не превышает заданного значения. Мы можем взять приведенную выше формулу и с помощью некоторой алгебры решить относительно n :

Сначала умножьте обе части уравнения на квадратный корень из n . Затем вычтите квадратный корень из n из числителя и знаменателя в правой части уравнения (поскольку любое число, деленное само на себя, равно 1). Остается:

Теперь разделите обе части на «E» и вычеркните «E» из числителя и знаменателя в левой части.Остается:

Наконец, возведите обе части уравнения в квадрат, чтобы получить:

Эта формула генерирует размер выборки n , необходимый для обеспечения того, чтобы предел погрешности E не превышал заданного значения. Чтобы найти n , мы должны ввести « Z », « σ», « и« E ».

• Z — значение из таблицы вероятностей стандартного нормального распределения для желаемого уровня достоверности (например,g., Z = 1,96 для 95% достоверности)
• E — это предел погрешности, который исследователь определяет как важный с клинической или практической точки зрения.
• σ — стандартное отклонение интересующего результата.

Иногда бывает сложно оценить σ . Когда мы используем приведенную выше формулу размера выборки (или одну из других формул, которые мы представим в следующих разделах), мы планируем исследование для оценки неизвестного среднего значения конкретной переменной результата в популяции.Маловероятно, что мы узнаем стандартное отклонение этой переменной. При вычислении размера выборки исследователи часто используют значение стандартного отклонения от предыдущего исследования или исследования, проведенного в другой, но сопоставимой совокупности. Расчет размера выборки не является применением статистических выводов, и поэтому разумно использовать соответствующую оценку стандартного отклонения. Оценка может быть получена из другого исследования, о котором сообщалось в литературе; некоторые исследователи проводят небольшое пилотное исследование для оценки стандартного отклонения.Пилотное исследование обычно включает небольшое количество участников (например, n = 10), которые выбираются по удобству, а не методом случайной выборки. Данные участников пилотного исследования можно использовать для вычисления стандартного отклонения выборки, которое служит хорошей оценкой для σ в формуле размера выборки. Независимо от того, как получается оценка изменчивости результата, она всегда должна быть консервативной (т.е. настолько большой, насколько это разумно), чтобы размер результирующей выборки не был слишком маленьким.

Формула дает минимальный размер выборки, чтобы гарантировать, что предел ошибки в доверительном интервале не будет превышать E . При планировании исследований исследователи также должны учитывать выбытие или отказ от последующего наблюдения. Приведенная выше формула дает количество участников, необходимое с полными данными, чтобы гарантировать, что предел ошибки в доверительном интервале не превышает E . Мы проиллюстрируем, как устраняется истощение, в исследованиях планирования на примерах в следующих разделах.

В исследованиях, в которых план состоит в оценке среднего значения непрерывной переменной результата в одной популяции, формула для определения размера выборки приводится ниже:

, где Z — значение из стандартного нормального распределения, отражающее уровень достоверности, который будет использоваться (например, Z = 1,96 для 95%), σ — стандартное отклонение выходной переменной, а E — желаемое. погрешность.Приведенная выше формула генерирует минимальное количество субъектов, необходимое для обеспечения того, чтобы предел ошибки доверительного интервала для μ не превышал E .

Пример 1:

Исследователь хочет оценить среднее систолическое артериальное давление у детей с врожденным пороком сердца в возрасте от 3 до 5 лет. Сколько детей должно быть включено в исследование? Исследователь планирует использовать 95% доверительный интервал (так Z = 1,96) и хочет погрешность в 5 единиц.Стандартное отклонение систолического артериального давления неизвестно, но исследователи провели поиск литературы и обнаружили, что стандартное отклонение систолического артериального давления у детей с другими пороками сердца составляет от 15 до 20. Чтобы оценить размер выборки, мы рассматриваем больший стандарт отклонение, чтобы получить наиболее консервативный (самый большой) размер выборки.

Чтобы гарантировать, что 95% -ный доверительный интервал оценки среднего систолического артериального давления у детей в возрасте от 3 до 5 лет с врожденным пороком сердца находится в пределах 5 единиц от истинного среднего значения, необходима выборка размером 62.[ Примечание : Мы всегда округляем в большую сторону; формулы размера выборки всегда генерируют минимальное количество субъектов, необходимое для обеспечения указанной точности.] Если бы мы приняли стандартное отклонение, равное 15, размер выборки был бы n = 35. Поскольку оценки стандартного отклонения были получены из исследований детей с другими пороками сердца, было бы целесообразно использовать большее стандартное отклонение и запланировать исследование с 62 детьми. Выбор меньшего размера выборки потенциально может дать оценку доверительного интервала с большей погрешностью.

Исследователь хочет оценить средний вес при рождении доношенных детей (примерно 40 недель беременности) от матерей в возрасте 19 лет и младше. Средний вес новорожденных, рожденных доношенными от матерей в возрасте 20 лет и старше, составляет 3 510 граммов со стандартным отклонением 385 граммов. Сколько женщин в возрасте 19 лет и младше должны быть включены в исследование, чтобы гарантировать, что оценка среднего веса при рождении их младенцев с доверительным интервалом 95% имеет предел погрешности, не превышающий 100 граммов? Прежде чем смотреть на ответ, попробуйте выполнить расчет.

Ответ

В исследованиях, в которых план состоит в оценке доли успехов по дихотомической переменной результата (да / нет) в одной популяции, формула для определения размера выборки:

, где Z — значение из стандартного нормального распределения, отражающее уровень достоверности, который будет использоваться (например, Z = 1,96 для 95%), а E — желаемый предел погрешности. p — доля успехов в популяции.Здесь мы планируем исследование для получения 95% доверительного интервала для неизвестной доли населения, p . Уравнение для определения размера выборки для определения p, кажется, требует знания p, но, очевидно, это круговой аргумент, потому что, если бы мы знали долю успехов в популяции, то в исследовании не было бы необходимости! Что нам действительно нужно, так это приблизительное значение p или ожидаемое значение. Диапазон p составляет от 0 до 1, и, следовательно, диапазон p (1-p) составляет от 0 до 1.Значение p, которое максимизирует p (1-p), равно p = 0,5. Следовательно, если нет информации для приближения p, то p = 0,5 можно использовать для получения наиболее консервативного или наибольшего размера выборки.

Пример 2:

Исследователь хочет оценить долю первокурсников в его университете, которые в настоящее время курят сигареты (т. Е. Распространенность курения). Сколько первокурсников должно быть вовлечено в исследование, чтобы гарантировать, что оценка доли курящих первокурсников с доверительным интервалом 95% находится в пределах 5% от истинной доли?

Поскольку у нас нет информации о доле курящих первокурсников, мы используем 0.5 для оценки размера выборки следующим образом:

Чтобы гарантировать, что оценка 95% доверительного интервала доли курящих первокурсников находится в пределах 5% от истинной доли, необходима выборка размером 385.

Предположим, что подобное исследование было проведено 2 года назад и обнаружило, что распространенность курения среди первокурсников составляет 27%. Если исследователь считает, что это разумная оценка распространенности через 2 года, ее можно использовать для планирования следующего исследования.Используя эту оценку p, какой размер выборки необходим (при условии, что снова будет использоваться 95% доверительный интервал и нам нужен такой же уровень точности)?

Ответ

Пример 3:

Исследователь хочет оценить распространенность рака груди среди женщин в возрасте от 40 до 45 лет, проживающих в Бостоне. Сколько женщин должно быть вовлечено в исследование, чтобы оценка была точной? Национальные данные показывают, что к 40 годам у 1 из 235 женщин диагностируется рак груди.Это соответствует доле 0,0043 (0,43%) или 43 на 10 000 женщин. Предположим, исследователь хочет, чтобы оценка была в пределах 10 на 10 000 женщин с достоверностью 95%. Размер выборки рассчитывается следующим образом:

Выборка размером n = 16 448 гарантирует, что оценка распространенности рака груди с доверительным интервалом 95% находится в пределах 0,10 (или в пределах 10 женщин на 10 000) от его истинного значения. Это ситуация, когда исследователи могут решить, что выборка такого размера невозможна.Предположим, что исследователи думали, что выборка размером 5 000 будет разумной с практической точки зрения. Насколько точно мы можем оценить распространенность на выборке размером n = 5000? Напомним, что формула доверительного интервала для оценки распространенности:

.

Предполагая, что распространенность рака груди в выборке будет близка к той, которая основана на национальных данных, мы ожидаем, что предел погрешности будет примерно равен следующему:

Таким образом, при n = 5000 женщин можно ожидать, что 95% доверительный интервал будет иметь погрешность, равную 0.0018 (или 18 на 10 000). Исследователи должны решить, будет ли это достаточно точным, чтобы ответить на исследовательский вопрос. Обратите внимание, что вышеизложенное основано на предположении, что распространенность рака груди в Бостоне аналогична общенациональной. Это может быть, а может и не быть разумным предположением. Фактически, цель настоящего исследования — оценить распространенность в Бостоне. Исследовательская группа при участии клинических исследователей и биостатистов должна тщательно оценить последствия выбора выборки размером n = 5000, n = 16 448 или любого промежуточного размера.

В исследованиях, в которых планируется оценить разницу средних значений между двумя независимыми популяциями, формула для определения размеров выборки, требуемой в каждой группе сравнения, приведена ниже:

, где n _i — размер выборки, требуемый в каждой группе (i = 1,2), Z — значение из стандартного нормального распределения, отражающее уровень достоверности, который будет использоваться, а E — желаемый предел погрешности. σ снова отражает стандартное отклонение переменной результата.Вспомните из модуля по доверительным интервалам, что, когда мы генерировали оценку доверительного интервала для разницы в средних, мы использовали Sp, объединенную оценку общего стандартного отклонения, как меру изменчивости в результате (на основе объединения данных). , где Sp вычисляется следующим образом:

Если доступны данные о вариабельности результата в каждой группе сравнения, то Sp можно вычислить и использовать в формуле размера выборки. Однако чаще всего данные о вариабельности исходов доступны только по одной группе, часто не получавшей лечения (например,g., плацебо-контроль) или группу, не подвергавшуюся воздействию. При планировании клинического испытания нового препарата или процедуры часто доступны данные других испытаний, в которых принимали участие плацебо или активная контрольная группа (т. Е. Стандартное лекарство или лечение, назначенное для исследуемого состояния). Стандартное отклонение переменной результата, измеренной у пациентов, отнесенных к группе плацебо, контрольной или неэкспонированной группе, можно использовать для планирования будущего исследования, как показано ниже.

Обратите внимание, что формула размера выборки генерирует оценки размера выборки для выборок равного размера.Если планируется исследование, в котором будет назначено разное количество пациентов или разное количество пациентов будет составлять группы сравнения, тогда можно использовать альтернативные формулы.

Пример 4:

Исследователь хочет запланировать клиническое испытание для оценки эффективности нового препарата, предназначенного для повышения уровня холестерина ЛПВП («хорошего» холестерина). План состоит в том, чтобы зарегистрировать участников и случайным образом распределить их для приема нового препарата или плацебо. Холестерин ЛПВП будет измеряться у каждого участника через 12 недель назначенного лечения.Основываясь на предыдущем опыте проведения подобных исследований, исследователь ожидает, что 10% всех участников будут потеряны для последующего наблюдения или выбывают из исследования в течение 12 недель. Будет рассчитан 95% доверительный интервал для количественной оценки разницы в средних уровнях ЛПВП между пациентами, принимающими новый препарат, по сравнению с плацебо. Исследователь хотел бы, чтобы погрешность была не более 3 единиц. Сколько пациентов следует включить в исследование?

Размеры выборки рассчитываются следующим образом:

Основной проблемой является определение вариабельности интересующего результата (σ), в данном случае стандартного отклонения холестерина ЛПВП.Чтобы спланировать это исследование, мы можем использовать данные Фрамингемского исследования сердца. У участников, которые присутствовали на седьмом обследовании исследования потомства и не лечились от высокого холестерина, стандартное отклонение холестерина ЛПВП составляет 17,1. Мы будем использовать это значение и другие входные данные для вычисления размеров выборки следующим образом:

Образцы размера n ₁ = 250 и n ₂ = 250 гарантируют, что 95% доверительный интервал для разницы средних уровней ЛПВП будет иметь погрешность не более 3 единиц.Опять же, эти размеры выборки относятся к количеству участников с полными данными. Исследователи предположили, что показатель отсева (или отсева) составляет 10% (в обеих группах). Чтобы гарантировать, что общий размер выборки 500 доступен через 12 недель, исследователь должен набрать больше участников, чтобы учесть их выбывание.

N (число для включения) * (% оставшихся) = желаемый размер выборки

Следовательно, N (число для включения) = желаемый размер выборки / (% оставшихся)

N = 500/0.90 = 556

Если они ожидают 10% отсева, исследователи должны зарегистрировать 556 участников. Это обеспечит N = 500 с полными данными в конце испытания.

Пример 5:

Исследователь хочет сравнить две диеты для детей, страдающих ожирением. Одна диета — это диета с низким содержанием жиров, а другая — с низким содержанием углеводов. План состоит в том, чтобы набрать детей и взвесить их в начале исследования. Затем каждому ребенку будет случайным образом назначена диета с низким содержанием жиров или углеводов.Каждый ребенок будет соблюдать назначенную диету в течение 8 недель, после чего они снова будут взвешиваться. Количество потерянных фунтов будет подсчитано для каждого ребенка. Основываясь на данных, полученных в результате испытаний диеты у взрослых, исследователь ожидает, что 20% всех детей не завершат исследование. Для количественной оценки разницы в потерянном весе между двумя диетами будет рассчитан 95% доверительный интервал, и исследователь хотел бы, чтобы погрешность составляла не более 3 фунтов. Сколько детей следует включить в исследование?

Размеры выборки рассчитываются следующим образом:

Опять же, проблема заключается в определении изменчивости интересующего результата (σ), здесь стандартное отклонение в фунтах, потерянных за 8 недель.Чтобы спланировать это исследование, исследователи используют данные опубликованного исследования взрослых. Предположим, что в одном из таких исследований сравнивали одни и те же диеты у взрослых и участвовали по 100 участников в каждой диетической группе. В исследовании сообщалось о стандартном отклонении веса, потерянном за 8 недель на диете с низким содержанием жиров на 8,4 фунта, и о стандартном отклонении веса, потерянном за 8 недель на диете с низким содержанием углеводов, в размере 7,7 фунтов. Эти данные можно использовать для оценки общего стандартного отклонения потери веса следующим образом:

Теперь мы используем это значение и другие входные данные для вычисления размеров выборки:

Образцы размера n ₁ = 56 и n ₂ = 56 гарантируют, что 95% доверительный интервал для разницы в потерянном весе между диетами будет иметь погрешность не более 3 фунтов.Опять же, эти размеры выборки относятся к количеству детей с полными данными. Исследователи ожидают 20% отсева. Чтобы гарантировать, что общий размер выборки 112 будет доступен через 8 недель, исследователь должен набрать больше участников, чтобы учесть их выбытие.

N (число для включения) * (% оставшихся) = желаемый размер выборки

Следовательно, N (число для включения) = желаемый размер выборки / (% оставшихся)

N = 112 / 0,80 = 140

В исследованиях, в которых планируется оценить среднюю разницу непрерывного результата на основе сопоставленных данных, ниже приводится формула для определения размера выборки:

, где Z — значение стандартного нормального распределения, отражающее уровень достоверности, который будет использоваться (например,g., Z = 1,96 для 95%), E — желаемый предел погрешности, а σ _d — стандартное отклонение баллов разницы. Чрезвычайно важно, чтобы стандартное отклонение баллов разницы (например, разница, основанная на измерениях с течением времени или разница между согласованными парами) использовалось здесь для надлежащей оценки размера выборки.

В исследованиях, в которых планируется оценить разницу в пропорциях между двумя независимыми популяциями (т.д., чтобы оценить разницу рисков) формула для определения размеров выборки, требуемой в каждой группе сравнения:

, где n _i — размер выборки, необходимый в каждой группе (i = 1,2), Z — значение из стандартного нормального распределения, отражающее уровень достоверности, который будет использоваться (например, Z = 1,96 для 95%), и E — желаемая погрешность. p ₁ и p ₂ — это доли успехов в каждой группе сравнения. Опять же, здесь мы планируем исследование для получения 95% доверительного интервала для разницы в неизвестных пропорциях, а формула для оценки необходимых размеров выборки требует p ₁ и p ₂ .Чтобы оценить размер выборки, нам нужны приблизительные значения p ₁ и p ₂ . Значения p ₁ и p ₂ , которые максимизируют размер выборки, равны p ₁ = p ₂ = 0,5. Таким образом, если нет доступной информации для приближения p ₁ и p ₂ , то можно использовать 0,5 для создания наиболее консервативных или наибольших размеров выборки.

Подобно ситуации для двух независимых выборок и непрерывного результата в верхней части этой страницы, может быть случай, когда доступны данные о доле успешных результатов в одной группе, обычно необработанной (например.g., плацебо-контроль) или группу, не подвергавшуюся воздействию. В таком случае известная пропорция может использоваться как для p ₁ , так и для p ₂ в приведенной выше формуле. Приведенная выше формула генерирует оценки размера выборки для выборок равного размера. Если планируется исследование, в котором будет назначено разное количество пациентов или разное количество пациентов будет составлять группы сравнения, тогда можно использовать альтернативные формулы. Заинтересованные читатели могут увидеть Флейсс для более подробной информации. ⁴

Пример 6:

Исследователь хочет оценить влияние курения во время беременности на преждевременные роды.Нормальная беременность длится примерно 40 недель, а преждевременные роды происходят до 37 недель. В отчете Национальной статистики естественного движения населения за 2005 год указывается, что примерно 12% младенцев рождаются преждевременно в Соединенных Штатах. ⁵ Исследователь планирует собрать данные посредством обзора медицинских карт и создать 95% доверительный интервал для разницы в долях детей, рожденных недоношенными женщинами, которые курили во время беременности, по сравнению с теми, кто этого не сделал. Сколько женщин должно быть включено в исследование, чтобы гарантировать, что 95% доверительный интервал для разницы в пропорциях имеет погрешность не более 4%?

Размеры выборки (т.е., количество женщин, которые курили и не курили во время беременности), можно вычислить по формуле, показанной выше. Национальные данные показывают, что 12% младенцев рождаются преждевременно. Мы будем использовать эту оценку для обеих групп при вычислении размера выборки.

Выборки размером n ₁ = 508 женщин, которые курили во время беременности, и n ₂ = 508 женщин, которые не курили во время беременности, обеспечат 95% -ный доверительный интервал для разницы в пропорциях преждевременных родов. погрешность не более 4%.

Здесь проблема истощения?

Ответ

В модуле проверки гипотез для средних и пропорций мы ввели методы для средних, пропорций, различий в средних и различий в пропорциях. Хотя каждый тест включал детали, которые были специфичны для интересующего результата (например, непрерывный или дихотомический) и для количества групп сравнения (одна, две, более двух), для каждого теста были общие элементы.Например, в каждой проверке гипотезы можно совершить две ошибки. Первая называется ошибкой типа I и относится к ситуации, когда мы ошибочно отклоняем H ₀ , хотя на самом деле это правда. На первом этапе любой проверки гипотезы мы выбираем уровень значимости, α, и α = P (ошибка типа I) = P (отклонить H ₀ | H ₀ верно). Поскольку мы намеренно выбираем небольшое значение для α, мы контролируем вероятность совершения ошибки типа I. Второй тип ошибок называется ошибкой типа II и определяется как вероятность того, что мы не отклоним H ₀ , когда он ложен.Вероятность ошибки типа II обозначается β, а β = P (ошибка типа II) = P (Не отклонять H ₀ | H ₀ ложно). При проверке гипотез мы обычно сосредотачиваемся на мощности, которая определяется как вероятность того, что мы отклоняем H ₀ , когда оно ложно, т. Е. Мощность = 1- β = P (Отклонить H ₀ | H ₀ ложно ). Мощность — это вероятность того, что тест правильно отклонит ложную нулевую гипотезу. Хороший тест — это тест с низкой вероятностью совершения ошибки типа I (т.е., малое α) и высокое увеличение (то есть малое β, высокое увеличение).

Здесь мы представляем формулы для определения размера выборки, необходимого для обеспечения высокой мощности теста. Вычисления размера выборки зависят от уровня значимости, aα, желаемой мощности теста (эквивалентно 1-β), изменчивости результата и величины эффекта. Величина эффекта — это разница в интересующем параметре, которая представляет собой клинически значимое различие. Подобно пределу погрешности в приложениях с доверительным интервалом, величина эффекта определяется на основе клинических или практических критериев, а не статистических критериев.

Понятие статистической мощности может быть трудным для понимания. Прежде чем представить формулы для определения размеров выборки, необходимых для обеспечения высокой мощности в тесте, мы сначала обсудим мощность с концептуальной точки зрения.

Предположим, мы хотим проверить следующие гипотезы при aα = 0,05: H ₀ : μ = 90 по сравнению с H ₁ : μ ≠ 90. Чтобы проверить гипотезы, предположим, что мы выбрали выборку размером n = 100. В этом примере предположим, что стандартное отклонение результата составляет σ = 20.Мы вычисляем выборочное среднее, а затем должны решить, предоставляет ли выборочное среднее доказательства в поддержку альтернативной гипотезы или нет. Это делается путем вычисления статистики теста и сравнения статистики теста с соответствующим критическим значением. Если нулевая гипотеза верна (μ = 90), то мы, вероятно, выберем образец, среднее значение которого близко к значению 90. Однако также можно выбрать образец, среднее значение которого намного больше или намного меньше 90. Напомним из Центральной предельной теоремы (см. Стр. 11 в модуле Вероятность), что для больших n (здесь n = 100 достаточно велико) распределение выборочных средних приблизительно нормально со средним значением

и

Если нулевая гипотеза верна, можно наблюдать любое среднее значение выборки, показанное на рисунке ниже; все возможно под H ₀ : μ = 90.

Когда мы устанавливаем правило принятия решения для нашей проверки гипотезы, мы определяем критические значения на основе α = 0,05 и двустороннего теста. Когда мы запускаем проверку гипотез, мы обычно стандартизируем данные (например, конвертируем в Z или t), а критические значения — это соответствующие значения из распределения вероятностей, используемого в тесте. Чтобы облегчить интерпретацию, мы продолжим это обсуждение вместо Z. Критические значения для двустороннего теста с α = 0,05 равны 86.06 и 93,92 (эти значения соответствуют -1,96 и 1,96 соответственно по шкале Z), поэтому правило принятия решения выглядит следующим образом: отклонить H ₀ , если < 86,06 или если > 93,92. Область отклонения показана в хвостах рисунка ниже.

Область отклонения для теста H ₀ : μ = 90 по сравнению с H ₁ : μ ≠ 90 при α = 0,05

.

Области в двух хвостах кривой представляют вероятность ошибки типа I, α = 0.05. Эта концепция обсуждалась в модуле по проверке гипотез.

Теперь предположим, что альтернативная гипотеза, H ₁ , верна (т. Е. Μ ≠ 90) и что истинное среднее на самом деле равно 94. На рисунке ниже показаны распределения выборочного среднего при нулевой и альтернативной гипотезах. значения выборочного среднего показаны по горизонтальной оси.

Распределение ниже H ₀ : μ = 90 и ниже H ₁ : μ = 94

Если истинное среднее значение равно 94, то альтернативная гипотеза верна.В нашем тесте мы выбрали α = 0,05 и отклонили H ₀ , если наблюдаемое среднее значение выборки превышает 93,92 (на данный момент фокусируясь на верхнем хвосте области отклонения). Критическое значение (93,92) указано вертикальной линией. Вероятность ошибки типа II обозначается β, а β = P (Не отклонять H ₀ | H ₀ ложно), то есть вероятность не отклонить нулевую гипотезу, если нулевая гипотеза верна. β показано на рисунке выше как область под крайней правой кривой (H ₁ ) слева от вертикальной линии (где мы не отклоняем H ₀ ).Мощность определяется как 1- β = P (отклонение H ₀ | H ₀ неверно) и показано на рисунке как площадь под крайней правой кривой (H ₁ ) справа от вертикальной линии ( где мы отклоняем H ₀ ).

Обратите внимание, что β и мощность связаны с α, изменчивостью результата и величиной эффекта. Из рисунка выше мы можем видеть, что произойдет с β и мощностью, если мы увеличим α. Предположим, например, что мы увеличиваем α до α = 0,10. Верхнее критическое значение будет 92.56 вместо 93,92. Вертикальная линия сместится влево, увеличивая α, уменьшая β и увеличивая мощность. Хотя лучший тест — это тест с более высокой мощностью, не рекомендуется увеличивать α как средство увеличения мощности. Тем не менее, существует прямая зависимость между α и мощностью (с увеличением α увеличивается и мощность).

β и мощность также связаны с изменчивостью результата и величиной эффекта. Величина эффекта — это разница в интересующем параметре (например, μ), которая представляет собой клинически значимое различие.На приведенном выше рисунке графически отображаются α, β и степень, когда разница в среднем под нулевым значением по сравнению с альтернативной гипотезой составляет 4 единицы (то есть 90 против 94). На рисунке ниже показаны те же компоненты для ситуации, когда среднее значение согласно альтернативной гипотезе равно 98.

Рисунок — Распределение ниже H ₀ : μ = 90 и ниже H ₁ : μ = 98.

Обратите внимание на то, что мощность намного выше, когда разница между средним значением H ₀ больше по сравнению с H ₁ (т.е.э., 90 против 98). Статистический тест с гораздо большей вероятностью отклонит нулевую гипотезу в пользу альтернативы, если истинное среднее значение равно 98, чем если истинное среднее значение равно 94. Также обратите внимание на то, что в этом случае существует небольшое перекрытие в распределениях при нулевой и альтернативной гипотезах. . Если наблюдается выборочное среднее значение 97 или выше, очень маловероятно, что оно получено из распределения, среднее значение которого равно 90. На предыдущем рисунке для H ₀ : μ = 90 и H ₁ : μ = 94, если мы Наблюдая, например, выборочное среднее значение 93, было бы не так ясно, было ли оно получено из распределения, среднее значение которого равно 90, или того, которое имеет среднее значение 94.

При разработке исследований большинство людей рассматривают степень вероятности 80% или 90% (так же, как мы обычно используем 95% в качестве уровня достоверности для оценок доверительного интервала). Входные данные для формул размера выборки включают желаемую мощность, уровень значимости и размер эффекта. Величина эффекта выбрана так, чтобы представлять клинически значимое или практически важное различие в интересующем параметре, как мы проиллюстрируем.

Формулы, которые мы представляем ниже, определяют минимальный размер выборки, чтобы гарантировать, что проверка гипотезы будет иметь указанную вероятность отклонения нулевой гипотезы, если она ложна (т.е., указанная мощность). Планируя исследования, исследователи снова должны учитывать выбывание или потерю для последующего наблюдения. Формулы, показанные ниже, определяют необходимое количество участников с полными данными, и мы проиллюстрируем, как отсев участников решается при планировании исследований.

В исследованиях, в которых планируется провести проверку гипотезы, сравнивая среднее значение переменной непрерывного результата в одной популяции с известным средним значением, представляют интерес гипотезы:

H ₀ : μ = μ _{0 и} H ₁ : μ ≠ μ ₀ где μ ₀ — известное среднее значение (например,г., исторический контроль). Формула для определения размера выборки, чтобы гарантировать, что тест имеет заданную мощность, приведена ниже:

, где α — выбранный уровень значимости, а Z _{1-α / 2} — значение из стандартного нормального распределения, удерживающего 1- α / 2 ниже него. Например, если α = 0,05, то 1- α / 2 = 0,975 и Z = 1,960. 1- β — это выбранная мощность, а Z _1-β — значение из стандартного нормального распределения, удерживающего 1- β ниже него. Оценка размера выборки для проверки гипотез часто основана на достижении 80% или 90% мощности.Значения Z _1-β для этих популярных сценариев приведены ниже:

• Для 80% мощности Z _0,80 = 0,84

• Для 90% мощности Z _0,90 = 1,282

ES — размер эффекта , определяемый следующим образом:

, где μ ₀ — среднее значение для H ₀ , μ ₁ — среднее значение для H ₁ , а σ — стандартное отклонение интересующего результата.Числитель величины эффекта, абсолютное значение разницы средних | μ ₁ — μ ₀ |, представляет собой то, что считается клинически значимым или практически важным различием в средствах. Подобно проблеме, с которой мы столкнулись при планировании исследований для оценки доверительных интервалов, иногда бывает трудно оценить стандартное отклонение. При вычислении размера выборки исследователи часто используют значение стандартного отклонения от предыдущего исследования или исследования, выполненного в другой, но сопоставимой совокупности.Независимо от того, как получается оценка изменчивости результата, она всегда должна быть консервативной (т.е. настолько большой, насколько это разумно), чтобы размер результирующей выборки не был слишком маленьким.

Пример 7:

Исследователь предполагает, что у людей, не страдающих диабетом, уровень глюкозы в крови натощак, фактор риска ишемической болезни сердца, выше у тех, кто пьет не менее 2 чашек кофе в день. Планируется перекрестное исследование для оценки среднего уровня глюкозы в крови натощак у людей, которые пьют не менее двух чашек кофе в день.Средний уровень глюкозы в крови натощак у людей, не страдающих диабетом, составляет 95,0 мг / дл со стандартным отклонением 9,8 мг / дл. ⁷ Если средний уровень глюкозы в крови у людей, выпивающих не менее 2 чашек кофе в день, составляет 100 мг / дл, это будет иметь клиническое значение. Сколько пациентов должно быть включено в исследование, чтобы убедиться, что мощность теста составляет 80% для выявления этой разницы? Будет использоваться двусторонний тест с уровнем значимости 5%.

Размер эффекта рассчитывается как:

.

Размер эффекта представляет собой значимую разницу в среднем генеральной совокупности — здесь 95 против 100 или 0,51 единицы стандартного отклонения. Теперь мы заменим размер эффекта и соответствующие значения Z на выбранные α и мощность, чтобы вычислить размер выборки.

Таким образом, выборка размером n = 31 гарантирует, что двусторонний тест с α = 0,05 будет иметь 80% -ную мощность для обнаружения разницы в 5 мг / дл в средних уровнях глюкозы в крови натощак.

В запланированном исследовании участников попросят голодать в течение ночи и сдать образец крови для анализа уровня глюкозы.Основываясь на предыдущем опыте, исследователи предполагают, что 10% участников не будут голодать или откажутся соблюдать протокол исследования. Таким образом, в исследование будут включены в общей сложности 35 участников, чтобы обеспечить доступность 31 для анализа (см. Ниже).

N (число для включения) * (%, соблюдающие протокол) = желаемый размер выборки

Следовательно, N (число для включения) = желаемый размер выборки / (% оставшихся)

N = 31 / 0,90 = 35.

В исследованиях, в которых планируется провести проверку гипотезы, сравнивая долю успехов в переменной дихотомического результата в одной популяции с известной долей, представляют интерес гипотезы:

против

, где p ₀ — известная пропорция (например,г., исторический контроль). Формула для определения размера выборки, чтобы гарантировать, что тест имеет заданную мощность, приведена ниже:

, где α — выбранный уровень значимости, а Z _{1-α / 2} — значение из стандартного нормального распределения, удерживающего 1- α / 2 ниже него. 1- β — выбранная мощность, а Z _1-β — значение из стандартного нормального распределения, удерживающее 1- β ниже него, а ES — величина эффекта, определяемая следующим образом:

, где p ₀ — пропорция согласно H ₀ , а p ₁ — пропорция согласно H ₁ .Числитель величины эффекта, абсолютное значение разницы в пропорциях | p ₁ -p ₀ |, снова представляет то, что считается клинически значимым или практически важным различием в пропорциях.

Пример 8:

Недавний отчет Фрамингемского исследования сердца показал, что 26% людей, не страдающих сердечно-сосудистыми заболеваниями, имели повышенный уровень холестерина ЛПНП, определяемый как ЛПНП> 159 мг / дл. ⁹ Исследователь предполагает, что более высокая доля пациентов с сердечно-сосудистыми заболеваниями в анамнезе будет иметь повышенный холестерин ЛПНП.Сколько пациентов следует обследовать, чтобы убедиться, что мощность теста составляет 90%, чтобы обнаружить разницу в 5% в пропорции с повышенным холестерином ЛПНП? Будет использоваться двусторонний тест с уровнем значимости 5%.

Сначала вычисляем размер эффекта:

Теперь мы подставляем размер эффекта и соответствующие значения Z для выбранного α и мощности, чтобы вычислить размер выборки.

Выборка размером n = 869 обеспечит двусторонний тест с α = 0.05 имеет 90% -ную мощность для обнаружения 5% -ной разницы в доле пациентов с сердечно-сосудистыми заболеваниями в анамнезе, которые имеют повышенный уровень холестерина ЛПНП.

Производитель медицинского оборудования производит имплантируемые стенты. В процессе производства приблизительно 10% стентов считаются дефектными. Производитель хочет проверить, не превышает ли доля дефектных стентов 10%. Если в результате процесса образуется более 15% дефектных стентов, необходимо предпринять корректирующие действия.Поэтому производитель хочет, чтобы тест имел мощность 90%, чтобы обнаружить разницу в пропорциях такой величины. Сколько стентов необходимо оценить? Для расчетов используйте двусторонний тест с уровнем значимости 5%. (Проведите вычисления самостоятельно, прежде чем смотреть ответ.)

Ответ

В исследованиях, в которых планируется провести проверку гипотезы, сравнивая средние значения непрерывной переменной результата в двух независимых популяциях, представляют интерес гипотезы:

против

, где μ ₁ и μ ₂ — средние значения в двух сравниваемых популяциях.Формула для определения размеров выборки для обеспечения заданной мощности теста:

, где n _i — размер выборки, необходимый в каждой группе (i = 1,2), α — выбранный уровень значимости, а Z _{1-α / 2} — значение из стандартного нормального распределения, содержащего 1- α / 2 ниже, и 1- β — выбранная степень, а Z _1-β — значение из стандартного нормального распределения, удерживающего 1- β ниже него. ES — размер эффекта, определяемый как:

где | μ ₁ — μ ₂ | — абсолютное значение разницы средних значений между двумя группами, ожидаемая согласно альтернативной гипотезе, H ₁ .σ — стандартное отклонение интересующего результата. Напомним из модуля по проверке гипотез, когда мы выполняли тесты гипотез, сравнивая средние значения двух независимых групп, мы использовали Sp, объединенную оценку общего стандартного отклонения, как меру изменчивости результата.

Sp рассчитывается следующим образом:

Если доступны данные о вариабельности результата в каждой группе сравнения, то Sp можно вычислить и использовать для генерации размеров выборки.Однако чаще всего данные о вариабельности исходов доступны только по одной группе, обычно необработанной (например, контрольная группа плацебо) или группе, не подвергавшейся воздействию. При планировании клинического испытания нового препарата или процедуры часто доступны данные из других испытаний, которые могли включать плацебо или активную контрольную группу (т. Е. Стандартное лекарство или лечение, назначенное для исследуемого состояния). Стандартное отклонение переменной результата, измеренное у пациентов, отнесенных к группе плацебо, контрольной или неэкспонированной группе, можно использовать для планирования будущего исследования, как показано.

Также обратите внимание, что приведенная выше формула генерирует оценки размера выборки для выборок равного размера. Если планируется исследование, в котором будет назначено разное количество пациентов или разное количество пациентов будет составлять группы сравнения, тогда можно использовать альтернативные формулы (более подробную информацию см. В Howell ³ ).

Пример 9:

Исследователь планирует клиническое испытание для оценки эффективности нового препарата, предназначенного для снижения систолического артериального давления.План состоит в том, чтобы зарегистрировать участников и случайным образом распределить их для приема нового препарата или плацебо. Систолическое артериальное давление будет измеряться у каждого участника через 12 недель назначенного лечения. Основываясь на предыдущем опыте проведения аналогичных испытаний, исследователь ожидает, что 10% всех участников будут потеряны для последующего наблюдения или выбыли из исследования. Если новый препарат показывает снижение среднего систолического артериального давления на 5 единиц, это будет представлять собой клинически значимое снижение. Сколько пациентов должно быть включено в исследование, чтобы убедиться, что мощность теста составляет 80% для выявления этой разницы? Будет использоваться двусторонний тест с уровнем значимости 5%.

Чтобы вычислить величину эффекта, необходима оценка вариабельности систолического артериального давления. Анализ данных Framingham Heart Study показал, что стандартное отклонение систолического артериального давления составило 19,0. Это значение можно использовать для планирования испытания.

Размер эффекта:

Теперь мы подставляем размер эффекта и соответствующие значения Z для выбранного α и мощности, чтобы вычислить размер выборки.

Образцы размером n ₁ = 232 и n ₂ = 232 гарантируют, что проверка гипотезы будет иметь мощность 80% для обнаружения разницы в 5 единиц среднего систолического артериального давления у пациентов, принимающих новый препарат, по сравнению с пациентами. получение плацебо.Однако исследователи выдвинули гипотезу о 10% отсеве (в обеих группах) и, чтобы обеспечить общий размер выборки 232, они должны учитывать отсев.

N (число для включения) * (% оставшихся) = желаемый размер выборки

Следовательно, N (число для включения) = желаемый размер выборки / (% оставшихся)

N = 232 / 0,90 = 258.

Исследователь должен набрать 258 участников, которые будут случайным образом распределены для приема нового препарата или плацебо.

Исследователь планирует исследование для оценки связи между потреблением алкоголя и средним баллом среди выпускников колледжа.План состоит в том, чтобы классифицировать студентов как сильно пьющих или не употребляющих 5 или более напитков в обычный день выпивки в качестве критерия алкоголя. Средние средние баллы будут сравниваться между учащимися, отнесенными к категории сильно пьющих, по сравнению с не использующими две независимые выборки проверки средних значений. Предполагается, что стандартное отклонение средних баллов составляет 0,42, а значимая разница в средних баллах (относительно статуса потребления алкоголя) составляет 0,25 единицы. Сколько выпускников колледжа должны быть включены в исследование, чтобы убедиться, что мощность теста составляет 80% для определения 0.25 единиц разницы в среднем среднем балле? Используйте двусторонний тест с уровнем значимости 5%.

Ответ

В исследованиях, в которых планируется выполнить проверку гипотезы о средней разнице в непрерывной переменной результата на основе сопоставленных данных, представляют интерес гипотезы:

против

, где μ _d — средняя разница в генеральной совокупности. Формула для определения размера выборки, чтобы гарантировать, что тест имеет заданную мощность, приведена ниже:

, где α — выбранный уровень значимости, а Z _{1-α / 2} — значение из стандартного нормального распределения, удерживающего 1- α / 2 ниже него, 1- β — выбранная степень, а Z _1-β — значение из стандартного нормального распределения, удерживающее 1- β ниже него, а ES — величина эффекта, определяемая следующим образом:

, где μ _d — средняя разность, ожидаемая согласно альтернативной гипотезе, H ₁ , а σ _d — стандартное отклонение разницы в результате (например,g., разница, основанная на измерениях с течением времени или разница между согласованными парами).

Пример 10:

Исследователь хочет оценить эффективность лечения иглоукалыванием для уменьшения боли у пациентов с хронической мигренью. Планируется набор пациентов, страдающих мигренью. Каждого перед тем, как назначить какое-либо лечение, попросят оценить серьезность боли, которую он испытывает при следующей мигрени.Боль будет регистрироваться по шкале от 1 до 100, причем более высокие баллы указывают на более сильную боль. Затем каждому пациенту будет проведено лечение иглоукалыванием. При следующей мигрени (после лечения) каждого пациента снова попросят оценить тяжесть боли. Разница в боли будет рассчитана для каждого пациента. Будет проведена двусторонняя проверка гипотезы при α = 0,05, чтобы оценить, существует ли статистически значимая разница в оценке боли до и после лечения. Сколько пациентов должно быть вовлечено в исследование, чтобы убедиться, что тест имеет мощность 80% для определения разницы в 10 единиц по шкале боли? Предположим, что стандартное отклонение разницы оценок составляет примерно 20 единиц.

Сначала вычислите размер эффекта:

Затем подставьте размер эффекта и соответствующие значения Z для выбранного α и мощности, чтобы вычислить размер выборки.

Выборка размером n = 32 пациента с мигренью гарантирует, что двусторонний тест с α = 0,05 будет иметь 80% мощность для определения средней разницы в 10 баллов боли до и после лечения, при условии, что все 32 пациента завершили лечение. .

В исследованиях, в которых планируется провести проверку гипотезы, сравнивая пропорции успехов в двух независимых популяциях, представляют интерес гипотезы:

H ₀ : p ₁ = p _{2 по сравнению с} H ₁ : p ₁ ≠ p ₂

, где p ₁ и p ₂ — пропорции в двух сравниваемых популяциях.Формула для определения размеров выборки для обеспечения заданной мощности теста приведена ниже:

, где n _i — размер выборки, необходимый в каждой группе (i = 1,2), α — выбранный уровень значимости, а Z _{1-α / 2} — значение из стандартного нормального распределения, содержащего 1- α. / 2 под ним, а 1- β — выбранная степень, а Z _1-β — значение из стандартного нормального распределения, удерживающего 1- β под ним. ES — величина эффекта, определяемая следующим образом:

,

где | p ₁ — p ₂ | — абсолютное значение разницы в пропорциях между двумя группами, ожидаемых в соответствии с альтернативной гипотезой, H ₁ , а p — общая пропорция, основанная на объединении данных из двух групп сравнения (p можно вычислить, взяв среднее значение пропорций в двух группах сравнения, предполагая, что группы будут примерно одинакового размера).

Пример 11:

Исследователь выдвинул гипотезу о более высокой заболеваемости гриппом среди студентов, регулярно пользующихся спортивными сооружениями, чем среди их сверстников, которые этого не делают. Исследование будет проведено весной. Каждого ученика спросят, пользовались ли они спортивным сооружением регулярно в течение последних 6 месяцев и не болели ли они гриппом. Будет проведена проверка гипотезы для сравнения доли студентов, которые регулярно использовали спортивные сооружения и заболели гриппом, с долей студентов, которые этого не сделали и заболели гриппом.В течение обычного года примерно 35% студентов болеют гриппом. Исследователи считают, что увеличение заболеваемости гриппом на 30% среди тех, кто регулярно пользовался спортивным сооружением, было бы клинически значимым. Сколько студентов должно быть привлечено к исследованию, чтобы убедиться, что мощность теста составляет 80%, чтобы обнаружить эту разницу в пропорциях? Будет использоваться двусторонний тест с уровнем значимости 5%.

Сначала мы вычисляем размер эффекта, подставляя доли учащихся в каждой группе, у которых ожидается заболевание гриппом, p ₁ = 0.46 (т.е. 0,35 * 1,30 = 0,46) и p ₂ = 0,35, а общая пропорция, p = 0,41 (т.е. (0,46 + 0,35) / 2):

Теперь мы подставляем размер эффекта и соответствующие значения Z для выбранного α и мощности, чтобы вычислить размер выборки.

Выборки размера n ₁ = 324 и n ₂ = 324 гарантируют, что проверка гипотезы будет иметь 80% -ную мощность для выявления 30% -ной разницы в доле учащихся, заболевших гриппом, между теми, кто болеет, и не заболевает. регулярно пользоваться спортивными сооружениями.

Донорские фекалии? Действительно? Clostridium difficile (также называемая «C. difficile» или «C. diff.») Представляет собой бактериальный вид, который можно найти в толстой кишке человека, хотя его численность контролируется другой нормальной флорой толстой кишки. Антибиотикотерапия иногда снижает нормальную флору в толстой кишке до такой степени, что процветает C. difficile и вызывается инфекция с симптомами, варьирующимися от диареи до опасного для жизни воспаления толстой кишки. Болезнь от C.difficile чаще всего поражает пожилых людей в больницах или учреждениях длительного ухода и обычно возникает после приема антибиотиков. В последние годы инфекции, вызванные C. difficile, стали более частыми, тяжелыми и трудно поддающимися лечению. По иронии судьбы, C. difficile сначала лечится путем прекращения приема антибиотиков, если они все еще назначаются. Если это не помогло, инфекцию вылечили путем перехода на другой антибиотик. Однако лечение другим антибиотиком часто не излечивает C.difficile. Были спорадические сообщения об успешном лечении путем вливания фекалий здоровых доноров в двенадцатиперстную кишку пациентов, страдающих C. difficile. (Юк!) Это восстанавливает нормальную микробиоту в толстой кишке и противодействует чрезмерному росту C. diff. Эффективность этого подхода была проверена в рандомизированном клиническом исследовании, опубликованном в Медицинском журнале Новой Англии (январь 2013 г.). Исследователи планировали случайным образом распределить пациентов с рецидивирующей инфекцией C. difficile либо на антибактериальную терапию, либо на дуоденальную инфузию донорских фекалий.Чтобы оценить размер необходимой пробы, исследователи предположили, что инфузия кала будет успешной в 90% случаев, а антибактериальная терапия будет успешной в 60% случаев. Сколько субъектов потребуется в каждой группе, чтобы гарантировать, что мощность исследования составляет 80% с уровнем значимости α = 0,05?

Ответ

Определение подходящего дизайна исследования более важно, чем статистический анализ; плохо спланированное исследование никогда нельзя спасти, тогда как плохо проанализированное исследование можно повторно проанализировать.Важнейшим компонентом дизайна исследования является определение подходящего размера выборки. Размер выборки должен быть достаточно большим, чтобы адекватно ответить на вопрос исследования, но не слишком большим, чтобы охватить слишком много пациентов, когда было бы достаточно меньшего. Определение подходящего размера выборки включает статистические критерии, а также клинические или практические соображения. Определение размера выборки требует совместной работы; Биостатисты должны работать в тесном сотрудничестве с клиническими исследователями, чтобы определить размер выборки, которая позволит решить интересующий вопрос исследования с достаточной точностью или мощностью для получения клинически значимых результатов.

В следующей таблице приведены формулы размера выборки для каждого описанного здесь сценария. Формулы организованы по предлагаемому анализу, оценке доверительного интервала или проверке гипотез.

1. Бушман Н.А., Фостер Дж., Викерс П.Девочки-подростки и их дети: достижение оптимальной массы тела при рождении. Гестационная прибавка в весе и исход беременности с точки зрения гестации при родах и массы тела при рождении: сравнение между подростками до 16 лет и взрослыми женщинами. Ребенок: уход, здоровье и развитие. 2001; 27 (2): 163-171.
2. Feuer EJ, Wun LM. ДЕВКАН: Вероятность развития или смерти от рака. Версия 4.0 .Bethesda, MD: Национальный институт рака, 1999.
3. Хауэлл, округ Колумбия. Статистические методы психологии.Бостон, Массачусетс: Duxbury Press, 1982.
4. Fleiss JL. Статистические методы расчета ставок и пропорций. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: John Wiley and Sons, Inc., 1981.
5. Национальный центр статистики здравоохранения. Здоровье, США, 2005 г., с диаграммой тенденций в области здоровья американцев. Хяттсвилл, Мэриленд: Типография правительства США; 2005.
6. Пласкон Л.А., Пенсон Д.Ф., Воан Т.Л., Стэнфорд Дж. Л. Курение сигарет и риск рака простаты у мужчин среднего возраста. Биомаркеры и профилактика эпидемиологии рака.2003; 12: 604-609.
7. Rutter MK, Meigs JB, Sullivan LM, D’Agostino RB, Wilson PW. С-реактивный белок, метаболический синдром и прогноз сердечно-сосудистых событий в исследовании Framingham Offspring Study. Тираж. 2004; 110: 380-385.
8. Рамачандран В., Салливан Л.М., Уилсон П.В., Семпос, Т.Т., Сандстрем Дж., Каннел В.Б., Леви Д., Д’Агостино, РБ. Относительное значение пограничных и повышенных уровней факторов риска ишемической болезни сердца. Анналы внутренней медицины. 2005; 142: 393-402.
9. Векслер Х., Ли Дж. Э., Куо М., Ли Х. Выпивка в колледже в 1990-е годы: постоянная проблема Результаты Гарвардской школы общественного здравоохранения, 1999, Здоровье колледжей, 2000; 48: 199-210.

Ответ на вопрос о массе тела при рождении — стр. 3

Исследователь хочет оценить средний вес при рождении доношенных детей (примерно 40 недель беременности) от матерей в возрасте 19 лет и младше. Средний вес новорожденных, рожденных доношенными от матерей в возрасте 20 лет и старше, составляет 3 510 граммов со стандартным отклонением 385 граммов.Сколько женщин в возрасте 19 лет и младше должны быть включены в исследование, чтобы гарантировать, что оценка среднего веса при рождении их младенцев с доверительным интервалом 95% имеет предел погрешности, не превышающий 100 граммов?

Чтобы гарантировать, что оценка среднего веса при рождении с доверительным интервалом 95% находится в пределах 100 граммов от истинного среднего, необходима выборка размером 57. При планировании исследования исследователь должен учитывать тот факт, что у некоторых женщин могут возникать преждевременные роды.Если женщины будут включены в исследование во время беременности, то необходимо будет включить в исследование более 57 женщин, чтобы после исключения преждевременных родов 57 женщин с информацией о результатах были доступны для анализа. Например, если ожидается, что 5% женщин родят преждевременные роды (т. Е. 95% родят доношенными), то необходимо включить 60 женщин, чтобы гарантировать, что 57 роды будут доношенными. Количество женщин, которые должны быть зачислены, N, рассчитывается следующим образом:

N (число для включения) * (% оставшихся) = желаемый размер выборки

N (0.95) = 57

N = 57 / 0,95 = 60,

Ответ Курение первокурсников — стр. 4

Предположим, что подобное исследование было проведено 2 года назад и обнаружило, что распространенность курения среди первокурсников составляет 27%. Если исследователь считает, что это разумная оценка распространенности через 2 года, ее можно использовать для планирования следующего исследования. Используя эту оценку p, какой размер выборки необходим (при условии, что снова будет использоваться 95% доверительный интервал и нам нужен такой же уровень точности)?

Чтобы гарантировать, что оценка 95% доверительного интервала доли курящих первокурсников находится в пределах 5% от истинной доли, необходима выборка размером 303.Обратите внимание, что этот размер выборки существенно меньше, чем рассчитанный выше. Наличие некоторой информации о величине доли в генеральной совокупности всегда дает размер выборки, который меньше или равен тому, который основан на доле генеральной совокупности 0,5. Однако оценка должна быть реалистичной.

Ответ на проблему с медицинским устройством — стр. 7

Производитель медицинского оборудования производит имплантируемые стенты. В процессе производства приблизительно 10% стентов считаются дефектными.Производитель хочет проверить, не превышает ли доля дефектных стентов 10%. Если в результате процесса образуется более 15% дефектных стентов, необходимо предпринять корректирующие действия. Поэтому производитель хочет, чтобы тест имел мощность 90%, чтобы обнаружить разницу в пропорциях такой величины. Сколько стентов необходимо оценить? Для расчетов используйте двусторонний тест с уровнем значимости 5%.

Затем подставьте размер эффекта и соответствующие значения z для выбранных альфа и мощности, чтобы вычислить размер выборки.

Размер выборки из 364 стентов гарантирует, что двусторонний тест с α = 0,05 будет иметь мощность 90% для обнаружения 0,05 или 5% разницы в пропорции произведенных дефектных стентов.

Ответ на алкоголь и средний балл — стр. 8

Исследователь планирует исследование для оценки связи между потреблением алкоголя и средним баллом среди выпускников колледжа. План состоит в том, чтобы классифицировать студентов как сильно пьющих или не употребляющих 5 или более напитков в обычный день выпивки в качестве критерия алкоголя.Средние средние баллы будут сравниваться между учащимися, отнесенными к категории сильно пьющих, по сравнению с не использующими две независимые выборки проверки средних значений. Предполагается, что стандартное отклонение средних баллов составляет 0,42, а значимая разница в средних баллах (относительно статуса потребления алкоголя) составляет 0,25 единицы. Сколько выпускников колледжа должны быть включены в исследование, чтобы убедиться, что мощность теста составляет 80%, чтобы обнаружить разницу в 0,25 единицы в средних средних баллах? Используйте двусторонний тест с уровнем значимости 5%.

Сначала вычислите размер эффекта.

Теперь замените размер эффекта и соответствующие значения z на альфа и мощность, чтобы вычислить размер выборки.

Размер выборки из n _i = 44 сильно пьющих и 44, которые выпивают менее пяти напитков в течение обычного питьевого дня, гарантирует, что проверка гипотезы будет иметь 80% -ную мощность для обнаружения разницы в 0,25 единицы средних средних баллов.

Ответ на донорские фекалии — страница 8

Сначала мы вычисляем размер эффекта, подставляя доли пациентов, которые, как ожидается, будут излечены при каждом лечении, p ₁ = 0.6 и p ₂ = 0,9, а общая пропорция p = 0,75:

Теперь мы заменяем размер эффекта и соответствующие значения Z на выбранные a и мощность, чтобы вычислить размер выборки.

Образцы размера n ₁ = 33 и n ₂ = 33 гарантируют, что проверка гипотезы будет иметь 80% -ную мощность для обнаружения этой разницы в долях пациентов, излеченных от C. diff. инфузией кала по сравнению с терапией антибиотиками.

Фактически, исследователи включили по 38 в каждую группу, чтобы учесть отсев. Тем не менее, после промежуточного анализа исследование было остановлено. Из 16 пациентов в группе инфузии у 13 (81%) отмечалось исчезновение диареи, связанной с C. difficile, после первой инфузии. Остальным 3 пациентам была проведена вторая инфузия с фекалиями от другого донора с разрешением у 2 пациентов. Излечение C. difficile произошло только у 4 из 13 пациентов (31%), получавших антибиотик ванкомицин.