Распределенная нагрузка в сосредоточенную: Приведение сосредоточенной нагрузки к эквивалентной равномерно распределенной

Содержание

Приведение сосредоточенной нагрузки к эквивалентной равномерно распределенной

1 вариант

Расстояние между сосредоточенными нагрузками одинаковое, при этом расстояние от начала пролета до первой сосредоточенной нагрузки равно расстоянию между сосредоточенными нагрузками. В этом случае сосредоточенные нагрузки также попадают на начало и на конец пролета, но при этом вызывают только увеличение опорной реакции, на значение изгибающих моментов и на прогиб крайние сосредоточенные нагрузки никак не влияют, а потому при расчетах несущей способности конструкции не учитываются. Рассмотрим это на примере балок перекрытия опирающихся на перемычку. Кирпичная кладка, которая может быть между перемычкой и балками перекрытия, и создавать при этом равномерно распределенную нагрузку, для простоты восприятия не показана.

Рисунок 1. Приведение сосредоточенных нагрузок к эквивалентной равномерно распределенной нагрузке.

Как видно из рисунка 1, определяющим является изгибающий момент, который используется при расчетах конструкций на прочность. Таким образом, чтобы равномерно распределенная нагрузка создавала такой же изгибающий момент, как и сосредоточенная нагрузка, ее нужно умножить на соответствующий коэффициент перехода (коэффициент эквивалентности). А определяется этот коэффициент из условий равенства моментов. Думаю, рисунок 1 это очень хорошо иллюстрирует. А еще, анализируя полученные зависимости, можно вывести общую формулу для определения коэффициента перехода. Так, если количество приложенных сосредоточенных нагрузок является нечетным, т.е. одна из сосредоточенных нагрузок обязательно попадает на середину пролета, то для определения коэффициента эквивалентности можно использовать формулу:

γ = n/(n - 1) (305.1.1)

где n - количество пролетов между сосредоточенными нагрузками.

При этом эквивалентная равномерно распределенная нагрузка будет равна:

qэкв = γ(n-1)Q/l (305.1.2)

где (n-1) - количество сосредоточенных нагрузок.

Впрочем, иногда удобнее производить расчеты, исходя из количества сосредоточенных нагрузок. Если это количество выразить переменной m, то тогда

γ = (m +1)/m (305.1.3)

где m - количество сосредоточенных нагрузок.

При этом эквивалентная равномерно распределенная нагрузка будет равна:

qэкв = γmQ/l (305.1.4)

Когда количество сосредоточенных нагрузок является четным, т.е. ни одна из сосредоточенных нагрузок не попадает на середину пролета, то значение коэффициента можно принимать, как для следующего нечетного значения количества сосредоточенных нагрузок. В целом при соблюдении указанных условий загружения можно принимать следующие коэффициенты перехода:

γ = 2 - если на рассматриваемую конструкцию, например, балку попадает только одна сосредоточенная нагрузка посредине перемычки. 

γ = 1.33 - для балки, на которую действуют 2 или 3 сосредоточенные нагрузки;

γ = 1.2 - для балки, на которую действуют 4 или 5 сосредоточенных нагрузок;

γ = 1.142 - для балки, на которую действуют 6 или 7 сосредоточенных нагрузок;

γ = 1.11 - для балки, на которую действуют 8 или 9 сосредоточенных нагрузок.

2 вариант

Расстояние между сосредоточенными нагрузками одинаковое, при этом расстояние от начала пролета до первой сосредоточенной нагрузки равно половине расстояния между сосредоточенными нагрузками. В этом случае сосредоточенные нагрузки не попадают на начало и на конец пролета.

Рисунок 2.  Значения коэффициентов перехода при 2 варианте приложения сосредоточенных нагрузок.

Как видно из рисунка 2, при таком варианте загружения значение коэффициента перехода будет значительно меньше. Так, например, при четном количестве сосредоточенных нагрузок, коэффициент перехода вообще можно принимать равным единице. При нечетном количестве сосредоточенных нагрузок для определения коэффициента эквивалентности можно использовать формулу:

γ = (m +7)/(m +6) (305.2.1)

где m - количество сосредоточенных нагрузок.

При этом эквивалентная равномерно распределенная нагрузка все также будет равна:

qэкв = γmQ/l (305.1.4)

В целом при соблюдении указанных условий загружения можно принимать следующие коэффициенты перехода:

γ = 2 - если на рассматриваемую конструкцию, например, балку попадает только одна сосредоточенная нагрузка посредине перемычки, а попадают ли балки перекрытия на начало или конец пролета или расположены сколь угодно далеко от начала и конца пролета, в данном случае значения не имеет. А значение это имеет при определении сосредоточенной нагрузки.  

γ = 1 - если на рассматриваемую конструкцию, действует четное количество нагрузок. 

γ = 1.11 - для балки, на которую действуют 3 сосредоточенные нагрузки;

γ = 1.091 - для балки, на которую действуют 5 сосредоточенных нагрузок;

γ = 1.076 - для балки, на которую действуют 7 сосредоточенных нагрузок;

γ = 1.067 - для балки, на которую действуют 9 сосредоточенных нагрузок.

Не смотря на некоторую заковыристость определения, коэффициенты эквивалентности очень просты и удобны. Так как при расчетах очень часто известна распределенная нагрузка, действующая на квадратный или погонный метр, то чтобы не переводить распределенную нагрузку сначала в сосредоточенную, а потом снова в эквивалентную распределенную, достаточно просто умножить значение распределенной нагрузки на соответствующий коэффициент. Например, на перекрытие будет действовать нормативная распределенная нагрузка 400 кг/м

2, при этом собственный вес перекрытия составит еще 300 кг/м2. Тогда при длине балок перекрытия 6 м на перемычку могла бы действовать равномерно распределенная нагрузка q = 6(400 + 300)/2 = 2100 кг/м. А дальше, если будет только одна балка перекрытия посредине пролета, то γ = 2, а

qэкв = γq = 2q (305.2.2)

И все.

Если ни одно из двух вышеприведенных условий не соблюдается, то использовать коэффициенты перехода в чистом виде нельзя, нужно добавить еще пару дополнительных коэффициентов, учитывающих расстояние до балок, не попадающих на начало и конец пролета перемычки, а также возможную несимметричность приложения сосредоточенных нагрузок. Вывести такие коэффициенты в принципе можно, однако в любом случае они будут понижающими во всех случаях, если рассматривать 1 вариант загружения и в 50% случаев, если рассматривать 2 вариант загружения, т.е. значения таких коэффициентов будут < 1. А потому для упрощения расчетов, а заодно и для большего запаса по прочности рассчитываемой конструкции вполне хватит коэффициентов, приведенных при первых двух вариантах загружения. 

Распределенные нагрузки

Распределенной нагрузкой называют внешние или внутренние усилия, которые приложены не в одной точке твердого тела (т.е. не сосредоточены в одной точке), а равномерно, случайным образом или по заданному закону распределены по его определенной длине, площади или объему.

Воздействие на детали, конструкции, элементы механизмов может быть задано распределенными нагрузками: в плоской системе задается интенсивность действия по длине конструкции, в пространственной системе – по площади.

Размерность для линейной нагрузки — Н/м, для нагрузки распределенной по площади — Н/м2, для объемной (например при учете собственного веса элементов конструкции) — Н/м3.

Например, на рисунке 1.23, а приведена равномерно распределенная по длине AB нагрузка интенсивностью q, измеряемая в Н/м. Эта нагрузка может быть заменена сосредоточенной силой

Q = q ∙ AB [Н],

приложенной в середине отрезка AB.

На рисунке 1.23, б показана равномерно убывающая (возрастающая) нагрузка, которая может быть заменена равнодействующей силой

Q = qmax∙AB/2,

приложенной в точке C, причем AC = 2/3AB.

В произвольном случае, зная функцию q(x) (рисунок 1.23, в), рассчитываем эквивалентную силу

Эта сила приложена в центре тяжести площади, ограниченной сверху от балки AB линией q(x).



Рисунок 1.23

Примером может служить расчет усилий, разрывающих стенки баллона со сжатым газом. Определим результирующую силу давления в секторе трубы при интенсивности q [Н/м]; R – радиус трубы, – центральный угол, ось Ox – ось симметрии (рисунок 1.24).

Выделим элемент сектора с углом ∆φ и определим силу ∆Q, действующую на плоский элемент дуги:

∆Q = q ∙ ∆l = q ∙ R ∙ ∆φ. (1.14)

Рисунок 1.24

Проекция этой силы на ось Ox будет

∆Qx = q ∙ R ∙ ∆φ∙ cosφ. (1.15)

В силу симметрии элемента трубы (с дугой AB) относительно оси Ox проекция результирующей силы на ось Oy:

Qy = 0, т.е.

Q = Qx, (1.16)

где АВ – хорда, стягивающая концы дуги.

Для цилиндрической емкости высотой h и внутренним давлением P на стенки действует нагрузка интенсивностью q = p [Н/м,2]. Если цилиндр рассечен по диаметру (рисунок 1.25), то равнодействующая этих сил равна F = q ∙ d ∙ h (d – внутренний диаметр) или

F = p ∙ 2R ∙ h.

Разрывающие баллон по диаметру усилия:

S1 = S2 = S;
2S = F;
S = p∙h∙R
. (1.18)

Рисунок 1.25

Если принять a – толщина стенки, то (пренебрегая усилиями в крышке и дне цилиндра) растягивающее напряжение в стенке равно

>> Уравнения равновесия системы сил

Распределенные нагрузки.

Теоретическая механика



Распределенные нагрузки

Как мы уже знаем, любая сила характеризуется тремя свойствами: модулем (скалярной размерностью), вектором (направлением в пространстве) и точкой приложения. Для того, чтобы иметь полное представление о характере и последствиях воздействия любой силы на тело или элемент конструкции, необходимо знать - какова величина этой силы, куда она направлена и к какой точке приложена.

В действительности сила не может быть приложена к точке, поскольку точка - безразмерная, бесконечно малая единица пространства, поэтому фактически силы воздействуют на очень малую площадку, размерами которой пренебрегают. Такие силы (приложенные к ничтожно малой площадке тела) называют сосредоточенными.

В реальности часто встречаются силы, приложенные не к точке, а к объему или поверхности тела, например сила тяжести, давления ветра, воды и т. п., т. е. нагрузку воспринимает не бесконечно малая площадка, а значительная площадь или объем тела. Такие силы называют распределенными.
Примером распределенной силы (обычно употребляют выражение «распределенная нагрузка») может послужить выпавший на крышу дома снег. Сила тяжести снежного покрова давит на всю поверхность крыши, нагружая одинаково (или неодинаково) каждую единицу ее площади, а не какую-либо точку.

Плоская система распределенных сил характеризуется ее интенсивностью, обычно обозначаемой латинской буквой q.
Интенсивность - это сила, приходящаяся на единицу длины (или площади) нагруженного участка.

Интенсивность в системе единиц СИ выражается в ньютонах на метр (Н/м) или, соответственно, в ньютонах на квадратный метр (для нагрузки, действующей на площадь).

Интенсивность воздействия силы на площадь характеризует такие физические понятия, как давление и напряжение. В плоской системе рассматривается интенсивность действия силы на единицу длины.



Распределенная нагрузка, имеющая постоянную интенсивность по всей длине участка называется равномерно распределенной (см. рисунок 1).

При решении задач статики распределенную нагрузку заменяют ее равнодействующей. Модуль равнодействующей равномерно распределенной нагрузки равен Q = ql (см. рисунок).
Равнодействующая равномерно распределенной нагрузки Q прикладывается в середине отрезка АВ.

Распределенная нагрузка, имеющая переменную интенсивность, называется неравномерно распределенной (рис. 2).
Примером такой нагрузки может служить меняющееся по высоте давление воды на плотину или снег, лежащий на крыше неровным слоем.
Определение точки С приложения равнодействующей неравномерно распределенной нагрузки производится путем геометрических расчетов и построений. Равнодействующая сила Q при таких нагрузках равна площади фигуры, охватываемой эпюрой нагрузки, а точка С приложения равнодействующей расположена в центре тяжести этой фигуры.

Нагрузки, распределенные по поверхности (по площади), характеризуются давлением, т. е. силой, приходящейся на единицу площади. В системе единиц СИ давление измеряется в Паскалях (Па) или ньютонах на квадратный метр (Н/м2).

***

Пример решения задачи с распределенной нагрузкой

Задача: Балка находится в равновесии под действием сосредоточенной силы F = 100 Н и равномерно распределенной нагрузки q = 60 Н/м (см. схему 3).
Необходимо определить реакцию RВ опоры В.

Решение.
Поскольку по условию задачи необходимо определить реакцию опоры В, составим уравнение моментов сил относительно опоры А, учитывая, что равномерно распределенную нагрузку можно заменить сосредоточенной силой:
Q = ql,    где l = (10 - 5) метров - часть балки, к которой приложена распределенная нагрузка.
Точка приложения сосредоточенной силы Q расположена в середине той части балки, к которой приложена распределенная нагрузка; плечо этой силы относительно опоры А будет равно: h = (10 - 5)/2 = 2,5 м.
Cоставляем уравнение моментов сил относительно опоры А из условия, что балка находится в состоянии равновесия (уравнение равновесия).

Учитываем знаки:

  • сила RВ создает относительно точки А положительный момент, плечо которого равно 10м;
  • сила F создает относительно точки А отрицательный момент, плечо которого равно 5 м;
  • распределенная нагрузка q создает (посредством силы Q и плеча h) относительно точки А отрицательный момент.

Получаем уравнение равновесия балки, в котором лишь одна неизвестная величина (RВ):

ΣM = 10RВ - qlh - 5F = 10RВ - q(10-5)(10-5)/2 - 5F = 0, откуда находим искомую реакцию опоры RВ:

RВ = {q(10-5)(10-5)/2 + 5F}/10 = 125 Н

Задача решена.

***

Условия равновесия плоской системы сходящихся сил


Главная страница


Дистанционное образование

Специальности

Учебные дисциплины

Олимпиады и тесты

Распределенные нагрузки

На практике часто вместо сосредоточенных сил сталкиваются с нагрузками, распределенными по поверхностям, по тому или иному закону. В этом случае вводится понятие интенсивности распределенной нагрузки . В зависимости от того, по какой поверхности распределены силы, интенсивностьможет иметь размерность:,,. Рассмотрим нагрузку, распределенную по длине для различных случаев.

28

1. Равномерно распределенная нагрузка вдоль отрезка прямой ()

В этом случае силы, равномерно распределены вдоль отрезка прямой . Для такой системы сил интенсивность имеет постоянное значение. При расчетах эту систему сил нужно заменить равнодействующей(рис. 31).Общее правило замены распределенной нагрузки сосредоточенной силой: модуль сосредоточенной силы численно равен площади фигуры, которую образует распределенная нагрузка, а линия действия этой силы проходит через центр тяжести фигуры, которую образует данная распределенная нагрузка.

Применяя это правило к схеме, показанной на рис. 31, получаем, что и проходит эта сила через центр тяжести прямоугольника ,т.е. через точку пересечения диагоналей, и делит сторону пополам.

  1. Нагрузка, распределенная вдоль отрезка по линейному закону

В этом случае силы распределены вдоль отрезка прямой по линейному закону, т.е. интенсивность меняется от нуля до(рис. 32). Примером такой нагрузки могут служить силы давления воды, распределенные по высоте какого-либо не полностью погруженного тела. Действуя по процедуре описанной выше, также заменяем эту распределенную нагрузку сосредоточенной силой: . Проходит эта сила через центр тяжести треугольника ,т.е. через точку пересечения медиан, и делит высоту в отношении от основания и от вершины .

3. Нагрузка, распределенная вдоль отрезка прямой по произвольному закону

Такой вид нагрузки показан на рис. 33,а. Требуется заменить эту нагрузку сосредоточенной силой , определив ее точку приложения по процедуре описанной ранее. Для примера примем, что интенсивностьзависит от длины распределения, т.е.. Покажем, как можно сделать переход от схемы 33,а к схеме 33,б.

29

Первую часть задачи, т.е. определение модуля силы можно решить следующим образом. Разбиваем произвольную фигуру, показанную на рис. 33,а, на ряд бесконечно малых прямоугольников длиной . Модуль сосредоточенной силы от этой элементарной нагрузки будет равен . Переходя от элементарных фигур к фигуре, показанной на рис. 33,а берем интеграл по длине :.

Теперь переходим ко второй части задачи, т.е. определяем точку приложения этой силы. Для этого воспользуемся теоремой Вариньона. Применительно к данным схемам она будет выглядеть следующим образом: . Разбиваем произвольную фигуру, показанную на рис. 33,а, на ряд бесконечно малых прямоугольников длиной . Модуль сосредоточенной силы от этой элементарной нагрузки будет равен . Определяем момент этой силы относительно точки:. Тогда. Но, с другой стороны, если посмотреть на рис. 33,б, то . Приравнивая правые части полученных равенств, получаем выражение для : , отсюда.

  1. Нагрузка, равномерно распределенная по дуге окружности

Примером такой нагрузки могут служить силы давления жидкости на боковые стенки цилиндрического сосуда (рис. 34).

Из симметрии видно, что сумма проекций этих сил на ось равна нулю. Следовательно, их равнодействующая направлена вдоль оси .

30

По модулю

,

где- сила, действующая на элемент дуги длиной,- угол, образуемой этой силой с осью . Из рис. 34 видно, что , тогда, вынося общий сомножительза знак суммы, получаем. Окончательно, где- длина хорды, стягиваемой дугою.

И распределяет равномерную нагрузку на. Распределенная нагрузка. Расчет составных систем

Расстояние между сосредоточенными нагрузками одинаковое, при этом расстояние от начала пролета до первой сосредоточенной нагрузки равно расстоянию между сосредоточенными нагрузками. В этом случае сосредоточенные нагрузки также попадают на начало и на конец пролета, но при этом вызывают только увеличение опорной реакции, на значение изгибающих моментов и на прогиб крайние сосредоточенные нагрузки никак не влияют, а потому при расчетах несущей способности конструкции не учитываются. Рассмотрим это на примере балок перекрытия опирающихся на перемычку. Кирпичная кладка, которая может быть между перемычкой и балками перекрытия, и создавать при этом равномерно распределенную нагрузку, для простоты восприятия не показана.

Рисунок 1 . Приведение сосредоточенных нагрузок к эквивалентной равномерно распределенной нагрузке.

Как видно из рисунка 1, определяющим является изгибающий момент, который используется при расчетах конструкций на прочность. Таким образом, чтобы равномерно распределенная нагрузка создавала такой же изгибающий момент, как и сосредоточенная нагрузка, ее нужно умножить на соответствующий коэффициент перехода (коэффициент эквивалентности). А определяется этот коэффициент из условий равенства моментов. Думаю, рисунок 1 это очень хорошо иллюстрирует. А еще, анализируя полученные зависимости, можно вывести общую формулу для определения коэффициента перехода. Так, если количество приложенных сосредоточенных нагрузок является нечетным, т.е. одна из сосредоточенных нагрузок обязательно попадает на середину пролета, то для определения коэффициента эквивалентности можно использовать формулу:

γ = n/(n - 1) (305.1.1)

где n - количество пролетов между сосредоточенными нагрузками.

q экв = γ(n-1)Q/l (305.1.2)

где (n-1) - количество сосредоточенных нагрузок.

Впрочем, иногда удобнее производить расчеты, исходя из количества сосредоточенных нагрузок. Если это количество выразить переменной m, то тогда

γ = (m +1)/m (305.1.3)

При этом эквивалентная равномерно распределенная нагрузка будет равна:

q экв = γmQ/l (305.1.4)

Когда количество сосредоточенных нагрузок является четным, т.е. ни одна из сосредоточенных нагрузок не попадает на середину пролета, то значение коэффициента можно принимать, как для следующего нечетного значения количества сосредоточенных нагрузок. В целом при соблюдении указанных условий загружения можно принимать следующие коэффициенты перехода:

γ = 2 - если на рассматриваемую конструкцию, например, балку попадает только одна сосредоточенная нагрузка посредине перемычки.

γ = 1.33 - для балки, на которую действуют 2 или 3 сосредоточенные нагрузки;

γ = 1.2 - для балки, на которую действуют 4 или 5 сосредоточенных нагрузок;

γ = 1.142 - для балки, на которую действуют 6 или 7 сосредоточенных нагрузок;

γ = 1.11 - для балки, на которую действуют 8 или 9 сосредоточенных нагрузок.

2 вариант

Расстояние между сосредоточенными нагрузками одинаковое, при этом расстояние от начала пролета до первой сосредоточенной нагрузки равно половине расстояния между сосредоточенными нагрузками. В этом случае сосредоточенные нагрузки не попадают на начало и на конец пролета.

Рисунок 2 . Значения коэффициентов перехода при 2 варианте приложения сосредоточенных нагрузок.

Как видно из рисунка 2, при таком варианте загружения значение коэффициента перехода будет значительно меньше. Так, например, при четном количестве сосредоточенных нагрузок, коэффициент перехода вообще можно принимать равным единице. При нечетном количестве сосредоточенных нагрузок для определения коэффициента эквивалентности можно использовать формулу:

γ = (m +7)/(m +6) (305.2.1)

где m - количество сосредоточенных нагрузок.

При этом эквивалентная равномерно распределенная нагрузка все также будет равна:

q экв = γmQ/l (305.1.4)

В целом при соблюдении указанных условий загружения можно принимать следующие коэффициенты перехода:

γ = 2 - если на рассматриваемую конструкцию, например, балку попадает только одна сосредоточенная нагрузка посредине перемычки, а попадают ли балки перекрытия на начало или конец пролета или расположены сколь угодно далеко от начала и конца пролета, в данном случае значения не имеет. А значение это имеет при определении сосредоточенной нагрузки.

γ = 1 - если на рассматриваемую конструкцию, действует четное количество нагрузок.

γ = 1.11 - для балки, на которую действуют 3 сосредоточенные нагрузки;

γ = 1.091 - для балки, на которую действуют 5 сосредоточенных нагрузок;

γ = 1.076 - для балки, на которую действуют 7 сосредоточенных нагрузок;

γ = 1.067 - для балки, на которую действуют 9 сосредоточенных нагрузок.

Не смотря на некоторую заковыристость определения, коэффициенты эквивалентности очень просты и удобны. Так как при расчетах очень часто известна распределенная нагрузка, действующая на квадратный или погонный метр, то чтобы не переводить распределенную нагрузку сначала в сосредоточенную, а потом снова в эквивалентную распределенную, достаточно просто умножить значение распределенной нагрузки на соответствующий коэффициент. Например, на перекрытие будет действовать нормативная распределенная нагрузка 400 кг/м 2 , при этом собственный вес перекрытия составит еще 300 кг/м 2 . Тогда при длине балок перекрытия 6 м на перемычку могла бы действовать равномерно распределенная нагрузка q = 6(400 + 300)/2 = 2100 кг/м. А дальше, если будет только одна балка перекрытия посредине пролета, то γ = 2, а

q экв = γq = 2q (305.2.2)

Если ни одно из двух вышеприведенных условий не соблюдается, то использовать коэффициенты перехода в чистом виде нельзя, нужно добавить еще пару дополнительных коэффициентов, учитывающих расстояние до балок, не попадающих на начало и конец пролета перемычки, а также возможную несимметричность приложения сосредоточенных нагрузок. Вывести такие коэффициенты в принципе можно, однако в любом случае они будут понижающими во всех случаях, если рассматривать 1 вариант загружения и в 50% случаев, если рассматривать 2 вариант загружения, т.е. значения таких коэффициентов будут

Наряду с рассмотренными выше сосредоточенными силами строительные конструкции и сооружения могут подвергаться воздействию распределенных нагрузок – по объему, по поверхности или вдоль некоторой линии – и определяемых ее интенсивностью.

Примером нагрузки, распределенной по площади , является снеговая нагрузка, давление ветра, жидкости или грунта. Интенсивность такой поверхностной нагрузки имеет размерность давления и измеряется в кН/м 2 или килопаскалях (кПа = кН/м 2).

При решении задач очень часто встречается нагрузка, распределенная по длине балки . Интенсивность q такой нагрузки измеряется в кН/м.

Рассмотрим балку, загруженную на участке [a , b ] распределенной нагрузкой, интенсивность которой изменяется по закону q = q (x ). Для определения опорных реакций такой балки нужно заменить распределенную нагрузку эквивалентной сосредоточенной. Это можно сделать по следующему правилу:

Рассмотрим частные случаи распределенной нагрузки.

а) общий случай распределенной нагрузки (рис.24)

Рис.24

q(x) - интенсивность распределенной силы [Н/м],

Элементарная сила.

l – длина отрезка

Распределенная по отрезку прямой сила интенсивности q(x) эквивалентна сосредоточенной силе

Сосредоточенная сила прикладывается в точке С (центре параллельных сил) с координатой

б) постоянная интенсивность распределенной нагрузки (рис.25)

Рис.25

в) интенсивность распределенной нагрузки, меняющаяся по линейному закону (рис.26)

Рис.26

Расчет составных систем.

Под составными системами будем понимать конструкции, состоящие из нескольких тел, соединенных друг с другом.

Прежде, чем переходить к рассмотрению особенностей расчета таких систем, введем следующее определение.

Статически определимыми называются такие задачи и системы статики, для которых число неизвестных реакций связей не превышает максимально допустимого числа уравнений.

Если число неизвестных больше числа уравнений, соответствующие задачи и системы называются статически неопределимыми . При этом разность между числом неизвестных и числом уравнений называется степенью статической неопределимости системы.

Для любой плоской системы сил, действующих на твердое тело, имеется три независимых условия равновесия. Следовательно, для любой плоской системы сил из условий равновесия можно найти не более трех неизвестных реакций связи.

В случае пространственной системы сил, действующих на твердое тело, имеется шесть независимых условия равновесия. Следовательно, для любой пространственной системы сил из условий равновесия можно найти не более шести неизвестных реакций связи.

Поясним это на следующих примерах.

1. Пусть центр невесомого идеального блока (пример 4) удерживается при помощи не двух, а трех стержней: АВ , ВС и BD и нужно определить реакции стержней, пренебрегая размерами блока.

С учетом условий задачи мы получим систему сходящихся сил, где для определения трех неизвестных: S A , S C и S D можно составить по-прежнему систему только двух уравнений: ΣX = 0, ΣY =0. Очевидно, поставленная задача и соответствующая ей система будут статически неопределимыми.

2. Балка, жестко защемленная на левом конце и имеющая на правом конце шарнирно-неподвижную опору, загружена произвольной плоской системой сил (рис.27).

Для определения опорных реакций можно составить только три уравнения равновесия, куда войдут 5 неизвестных опорных реакций: X A , Y A , M A , X B и Y B . Поставленная задача будет дважды статически неопределимой.

Такую задачу нельзя решить в рамках теоретической механики, предполагая рассматриваемое тело абсолютно твердым.

Рис.27

Вернемся к изучению составных систем, типичным представителем которых является трехшарнирная рама (рис. 28,а ). Она состоит из двух тел: AC и BC , соединенным ключевым шарниром C . На примере этой рамы рассмотрим два способа определения опорных реакций составных систем.

1 способ. Рассмотрим тело AC , загруженное заданной силой Р , отбросив в соответствии с аксиомой 7 все связи и заменив их соответственно реакциями внешних (X A , Y A ) и внутренних (X C , Y C ) связей (рис. 28,б ).

Аналогично можно рассмотреть равновесие тела BC под действием реакций опоры В - (X B , Y B ) и реакций в соединительном шарнире C - (X C ’ , Y C ’) , где в соответствии с аксиомой 5: X C = X C ’ , Y C = Y C ’.

Для каждого из этих тел можно составить три уравнения равновесия, таким образом, общее число неизвестных: X A , Y A , X C =X C ’ , Y C =Y C ’, X B , Y B равняется суммарному числу уравнений, и задача является статически определимой.

Напомним, что по условию задачи требовалось определить только 4 опорные реакции, нам же пришлось проделать дополнительную работу, определяя реакции в соединительном шарнире. В этом и заключается недостаток данного способа определения опорных реакций.

2 способ. Рассмотрим равновесие всей рамы АВС , отбросив только внешние связи и заменив их неизвестными опорными реакциями X A , Y A , X B , Y B .

Полученная система состоит из двух тел и не является абсолютно твердым телом, поскольку расстояние между точками А и В может изменяться вследствие взаимного поворота обеих частей относительно шарнира С . Тем не менее можно считать, что совокупность сил, приложенных к раме АВС образует систему, если воспользоваться аксиомой отвердевания (рис.28,в ).

Рис.28

Итак, для тела АВС можно составить три уравнения равновесия. Например:

ΣM A = 0;

ΣX = 0;

В эти три уравнения войдут 4 неизвестных опорных реакции X A , Y A , X B и Y B . Отметим, что попытка использовать в качестве недостающего уравнения, например такое: ΣM В = 0 к успеху не приведет, поскольку это уравнение будет линейно зависимым с предыдущими. Для получения линейно независимого четвертого уравнения необходимо рассмотреть равновесие другого тела. В качестве него можно взять одну из частей рамы, например - ВС . При этом нужно составить такое уравнение, которое содержало бы «старые» неизвестные X A , Y A , X B , Y B и не содержало новых. Например, уравнение: ΣX (ВС ) = 0 или подробнее: -X С ’ + X B = 0 для этих целей не подходит, поскольку содержит «новое» неизвестное X С ’, а вот уравнение ΣM С (ВС ) = 0 отвечает всем необходимым условиям. Таким образом, искомые опорные реакции можно найти в следующей последовательности:

ΣM A = 0; → Y B = Р /4;

ΣM В = 0; → Y А = -Р /4;

ΣM С (ВС ) = 0; → X B = -Р /4;

ΣX = 0; → X А = -3Р /4.

Для проверки можно использовать уравнение: ΣM С (АС ) = 0 или, подробнее: -Y А ∙2 + X А ∙2 + Р ∙1 = Р /4∙2 -3Р /4∙2 + Р ∙1 = Р /2 - 3Р /2 + Р = 0.

Отметим, что в это уравнение входят все 4 найденные опорные реакции: X А и Y А - в явной форме, а X B и Y B - в неявной, поскольку они были использованы при определении двух первых реакций.

Графическое определение опорных реакций.

Во многих случаях решение задач можно упростить, если вместо уравнений равновесия или в дополнение к ним непосредственно использовать условия равновесия, аксиомы и теоремы статики. Соответствующий подход и получил название графического определения опорных реакций.

Прежде чем перейти к рассмотрению графического метода отметим, что, как и для системы сходящихся сил, графически можно решить только те задачи, которые допускают аналитическое решение. При этом графический метод определения опорных реакций удобен при небольшом числе нагрузок.

Итак, графический метод определения опорных реакций основан главным образом на использовании:

Аксиомы о равновесии системы двух сил;

Аксиомы о действии и противодействии;

Теоремы о трех силах;

Условия равновесия плоской системы сил.

При графическом определении реакций составных систем рекомендуется следующая последовательность рассмотрения :

Выбрать тело с минимальным числом алгебраических неизвестных реакций связей;

Если таких тел два или больше, то начать решение с рассмотрения тела, к которому приложено меньшее число сил;

Если таких тел два или больше, то выбрать тело, для которого большее число сил известно по направлению.

Решение задач.

При решения задач этого раздела сле­дует иметь в виду все те общие указания, которые были сделаны ранее.

Приступая к решению, надо, прежде всего, установить, равновесие какого именно тела следует в данной задаче рассмотреть. Затем, выделив это тело и рассматривая его как свободное, следует изобразить все действующие на тело заданные силы и реакции отброшенных связей.

Далее следует составить условия равновесия, применяя ту из форм этих условий, которая приводит к более простой системе урав­нений (наиболее простой будет система уравнений, в каждое из ко­торых входит по одному неизвестному).

Для получения более простых уравнений следует (если это только не усложняет ход расчета):

1) составляя уравнения проекций, проводить координатную ось, перпендикулярно какой-нибудь неиз­вестной силе;

2) при составлении моментного уравнения в качестве моментной целесообразно выбирать точку, где пересекаются линии действия двух неизвестных опорных реакций из трех – в этом случае они не войдут в уравнение, и оно будет содержать только одно неизвестное;

3) если две неизвестных опорных реакции из трех параллельны, то при составлении уравнения в проекциях на ось последнюю следует направить так, чтобы она была перпендикулярна к двум первым реакциям – в этом случае уравнение будет содержать только последнее неизвестное;

4) при решении задачи систему координат надо выбирать так, чтобы ее оси были ориентированы так же, как большинство приложенных к телу сил системы.

При вычислении моментов иногда бывает удобно разла­гать данную силу на две составляющие и, пользуясь теоремой Вариньона, находить момент силы как сумму моментов этих соста­вляющих.

Решение многих задач статики сводится к определению реакций опор, с помощью которых закрепляются балки, мостовые фермы и т. п.

Пример 7. К кронштейну, изображенному на рис.29, а, в узле В подвешен груз весом 36 кН. Соединения элементов кронштейна шарнирные. Определить усилия, возникающие в стержнях АВ и ВС , считая их невесомыми.

Решение. Рассмотрим равновесие узла В , в котором сходятся стержни АВ и ВС . Узел В представляет собой точку на чертеже. Так как груз подвешен к узлу В , то в точке В прикладываем силу F, равную весу подвешенного груза. Стержни ВА и ВС , шарнирно соединенные в узле В, ограничивают возможность любого его линейного перемещения в вертикальной плоскости, т.е. являются связями по отношению к узлу В .

Рис. 29. Расчетная схема кронштейна к примеру 7:

а – расчетная схема; б – система сил в узле B

Мысленно отбрасываем связи и заменяем их действия силами - реакциями связей R А и R С . Так как стержни невесомые, то реакции этих стержней (усилия в стержнях) направлены вдоль оси стержней. Предположим, что оба стержня растянуты, т.е. их реакции направлены от шарнира внутрь стержней. Тогда, если после расчета реакция получится со знаком минус, то это будет означать, что на самом деле реакция направлена в сторону, противоположную указанной на чертеже, т.е. стержень будет сжат.

На рис. 29, б показано, что в точке В приложены активная сила F и реакции связей R А и R С. Видно, что изображенная система сил представляет плоскую систему сил, сходящихся в одной точке. Выбираем произвольно оси координат OX и OY и составляем уравнения равновесия вида:

ΣF x = 0; -R a - R c cos 𝛼 = 0;

ΣF y = 0; -F - R c cos (90 - α) = 0.

Учитывая, что cos (90 - α) = sin α, из второго уравнения находим

R c = -F/sin α = - 36/0,5 = -72 кН.

Подставив значение R c в первое уравнение, получим

R a = -R c cos α= - (-72) ∙0,866 = 62,35 кН.

Таким образом, стержень АВ - растянут, а стержень ВС - сжат.

Для проверки правильности найденных усилий в стержнях спроектируем все силы на любую ось, не совпадающую с осями X и Y , например, ось U :

ΣF u = 0; -R c - R a cos α - F cos (90- α) = 0.

После подстановки значений найденных усилий в стержнях (размерность в килоньютонах) получим

- (-72) – 62,35∙0,866 - 36∙0,5 = 0; 0 = 0.

Условие равновесия выполняется, таким образом, найденные усилия в стержнях верны.

Пример 8. Балка строительных подмостей, весом которой можно пренебречь удерживается в горизонтальном положении гибкой тягой СD и шарнирно опирается на стену в точке А . Найти усилие в тяге СD , если на край подмостей встанет рабочий весом 80 кг ≈0,8 кН (рис.30, а ).

Рис. 30. Расчетная схема подмостей к примеру 8:

а – расчетная схема; б – система сил действующих на подмости

Решение. Выделяем объект равновесия. В данном примере объектом равновесия является балка подмостей. В точке В на балку действует активная сила F , равная весу человека. Связями в данном случае являются неподвижный опорный шарнир А и тяга CD . Мысленно отбросим связи, заменив их действие на балку, реакциями связей (рис. 30, б ). Реакцию неподвижной шарнирной опоры по условию задачи определять не нужно. Реакция в тяге CD направлена вдоль тяги. Предположим, что стержень CD растянут, т.е. реакция R D направлена от шарнира С внутрь стержня. Разложим реакцию R D , по правилу параллелограмма, на горизонтальную и вертикальную составляющие:

R Dx гор =R D cos α;

R Dy верт = R D cos (90-α) =R D sin α.

В результате получили произвольную плоскую систему сил, необходимым условием равновесия которой является равенство нулю трех независимых условий равновесия,.

В нашем случае удобно первым записать условие равновесия в виде суммы моментов относительно моментной точки А , так как момент опорной реакции R A относительно этой точки равен нулю:

Σm A = 0; F ∙3a - R dy ∙a = 0

F ∙3a - R D sin α= 0.

Значение тригонометрических функций определим из треугольника АСD:

cosα = АC/CD = 0,89,

sinα = AD/CD = 0,446.

Решая уравнение равновесия, получим R D = 5,38 кH. (Тяж СD - растянут).

Для проверки правильности вычисления усилия в тяже CD необходимо вычислить хотя бы одну из составляющих опорной реакции R A . Воспользуемся уравнением равновесия в виде

ΣF y = 0; V A + R Dy - F = 0

V A = F - R dy .

Отсюда V A = -1,6 кН.

Знак минус означает, что вертикальная составляющая реакции R A на опоре направлена вниз.

Проверим правильность вычисления усилия в тяже. Используем еще одно условие равновесия в виде уравнений моментов относительно точки В .

Σm B = 0; V A ∙3а + R Dy ∙ 2a = 0;

1,6∙3а + 5,38∙0,446∙2а = 0; 0 = 0.

Условия равновесия соблюдаются, таким образом, усилие в тяже найдено верно.

Пример 9. Вертикальный бетонный столб забетонирован нижним концом в горизонтальное основание. Сверху на столб передается нагрузка от стены здания весом 143 кН. Столб изготовлен из бетона плотностью γ= 25 кН/м 3 . Размеры столба показаны на рис. 31, а . Определить реакции в жесткой заделке.

Рис. 31. Расчетная схема столба к примеру 9:

а – схема загрузки и размеры столба; б – расчетная схема

Решение. В данном примере объектом равновесия является столб. Столб загружен следующими типами активных нагрузок: в точке А сосредоточенной силой F, равной весу стены здания, и собственным весом столба в виде равномерно распределенной по длине бруса нагрузки интенсивностью q на каждый метр длины столба: q = 𝛾А , где А - площадь поперечного сечения столба.

q = 25∙0,51∙0.51 = 6,5 кН/м.

Связями в данном примере является жесткая заделка в основании столба. Мысленно отбросим заделку и заменим ее действие реакциями связей (рис. 31, б ).

В нашем примере рассматривается частный случай действия системы сил, перпендикулярных заделке и проходящих по одной оси через точку приложения опорных реакций. Тогда две опорные реакции: горизонтальная составляющая и реактивный момент будут равны нулю. Для определения вертикальной составляющей опорной реакции спроектируем все силы на ось элемента. Совместим эту ось с осью Z, тогда условие равновесия запишется в следующем виде:

ΣF Z = 0; V B - F - ql = 0,

где ql - равнодействующая распределенной нагрузки.

V B = F +ql= 143 + 6,5∙4 = 169 кН.

Знак плюс указывает, что реакция V B направлена вверх.

Для проверки правильности вычисления опорной реакции остается еще одно условие равновесия - в виде алгебраической суммы моментов всех сил относительно любой точки, не проходящей через ось элемента. Предлагаем выполнить эту проверку самостоятельно.

Пример 10. Для балки, изображенной на рис.32, а , требуется определить опорные реакции. Дано: F = 60 кН, q = 24 кН/м, М = 28 кН∙м.

Рис. 32. Расчетная схема и размеры балки к примеру 10:

Решение. Рассмотрим равновесие балки. Балка загружена активной нагрузкой в виде плоской системы параллельных вертикальных сил, состоящих из сосредоточенной силы F , равномерно распределенной нагрузки интенсивностью q с равнодействующей Q , приложенной в центре тяжести грузовой площади (рис. 32, б ), и сосредоточенного момента М , который можно представить в виде пары сил.

Связями в данной балке являются шарнирно-неподвижная опора А и шарнирно-подвижная опора В . Выделим объект равновесия, для этого отбросим опорные связи и заменим их действия реакциями в этих связях (рис. 32, б ). Реакция подвижной опоры R B направлена вертикально, а реакция шарнирно-неподвижной опоры R A будет параллельна активной системе действующих сил и направлена также вертикально. Предположим, что они направлены вверх. Равнодействующая распределенной нагрузки Q = 4,8∙q приложена в центре симметрии грузовой площади.

При определении опорных реакций в балках необходимо стремиться так составлять уравнения равновесия, чтобы в каждое из них входило только одно неизвестное. Этого можно добиться, составляя два уравнения моментов относительно опорных точек. Проверку опорных реакций обычно проводят, составляя уравнение в виде суммы проекций всех сил на ось, перпендикулярную оси элемента.

Примем условно направление вращения момента опорных реакций вокруг моментных точек за положительное, тогда противоположное направление вращения сил будем считать отрицательным.

Необходимым и достаточным условием равновесия в данном случае является равенство нулю независимых условий равновесия в виде:

Σm A = 0; V B ∙6 - q ∙4,8∙4,8 + M + F ∙2,4 = 0;

Σm B = 0; V A ∙6 - q ∙4,8∙1,2 - M - F ∙8,4 = 0.

Подставляя численные значения величин, находим

V B = 14,4 кН, V A = 15,6 кН.

Для проверки правильности найденных реакций используем условие равновесия в виде:

ΣF y = 0; V A + V B - F -q ∙4,8 =0.

После подстановки численных значений в это уравнение получаем тождество типа 0=0. Отсюда делаем выводы, что расчет выполнен верно и реакции на обеих опорах направлены вверх.

Пример 11. Определить опорные реакции для балки, изображенной на рис.33, а . Дано: F = 2,4 кН, M = 12 кН∙м, q = 0,6 кН/м, a = 60°.

Рис. 33. Расчетная схема и размеры балки к примеру 11:

а – расчетная схема; б – объект равновесия

Решение. Рассмотрим равновесие балки. Мысленно освобождаем балку от связей на опорах и выделяем объект равновесия (рис. 33, б ). Балка загружена активной нагрузкой в виде произвольной плоской системы сил. Равнодействующая распределенной нагрузки Q = q ∙3 приложена в центре симметрии грузовой площади. Силу F разложим по правилу параллелограмма на составляющие – горизонтальную и вертикальную

F z = F cosα= 2,4 cos60° = 1,2 кН;

F y =F cos(90-α) = F sin60° = 2,08 кН.

Прикладываем к объекту равновесия вместо отброшенных связей реакции. Предположим, вертикальная реакция V A шарнирно подвижной опоры А направлена вверх, вертикальная реакция V B шарнирно неподвижной опоры B направлена также вверх, а горизонтальная реакция H В - вправо.

Таким образом, на рис. 33, б изображена произвольная плоская система сил, необходимым условием равновесия которой является равенство нулю трех независимых условий равновесия для плоской системы сил. Напомним, что, согласно теореме Вариньона, момент силы F относительно любой точки равен сумме моментов составляющих F z и F y относительно этой же точки. Примем условно, направление вращения момента опорных реакций вокруг моментных точек за положительное, тогда противоположное направление вращение сил будем считать отрицательным.

Тогда условия равновесия удобно составить в следующем виде:

ΣFz = 0; - F z + H B = 0; отсюда H B = 1,2 кН;

Σm A = 0; V B ∙6 + M - F y ∙2 + 3q ∙0.5 = 0; отсюда V B = - 1,456 кН;

Σm B = 0; V A ∙6 - 3q ∙6,5 - F y ∙4 - M = 0; отсюда V A = 5,336 кН.

Для проверки правильности вычисленных реакций используем еще одно условие равновесия, которое не использовали, например:

ΣF y = 0; V A + V B - 3q - F y = 0.

Вертикальная опорной реакции V B получилась со знаком минус, это показывает, что в данной балке она направлена не вверх, а вниз.

Пример 12. Определить опорные реакции для балки, жестко заделанной с одной стороны и изображенной на рис. 34, а . Дано: q =20 кН/м.


Рис. 34. Расчетная схема и размеры балки к примеру 12:

а – расчетная схема; б – объект равновесия

Решение. Выделим объект равновесия. Балка загружена активной нагрузкой в виде плоской системы параллельных сил, расположенных вертикально. Мысленно освобождаем балку от связей в заделке и заменяем их реакциями в виде сосредоточенной силы V B и пары сил с искомым реактивным моментом М B (см. рис.34, б ). Так как активные силы действуют только в вертикальном направлении, то горизонтальная реакция Н B равна нулю. Примем условно направление вращения момента опорных реакций вокруг моментных точек по часовой стрелке за положительное, тогда противоположное направление вращения сил будем считать отрицательным.

Составляем условия равновесия в виде

ΣF y = 0; V B - q ∙1,6 = 0;

Σm B = 0; M B - q ∙1,6∙1,2 = 0.

Здесь q ∙1,6 – равнодействующая распределенной нагрузки.

Подставив численные значения распределенной нагрузки q , находим

V В = 32 кН, М B = 38,4 кН∙м.

Для проверки правильности найденных реакций составим еще одно условие равновесия. Теперь возьмем за моментную точку какую-нибудь другую точку, например правый конец балки, тогда:

Σm A = 0; M B V B ∙2 + q ∙1,6∙0,8 = 0 .

После подстановки численных значений получаем тождество 0=0.

Окончательно делаем выводы, что опорные реакции найдены верно. Вертикальная реакция V B направлена вверх, а реактивный момент М В - по часовой стрелке.

Пример 13. Определить опорные реакции балки (рис.35, а ).

Решение. В качестве активной нагрузки выступает равнодействующая распределенной нагрузки Q =(1/2)∙aq =(1/2)∙3∙2=3кН, линия действия которой проходит на расстоянии 1 м от левой опоры, сила натяжения нити Т = Р = 2 кН, приложенная на правом конце балки и сосредоточенный момент.

Поскольку последний можно заменить парой вертикальных сил, то действующая на балку нагрузка вместе с реакцией подвижной опоры В образует систему параллельных сил, поэтому реакция R A будет также направлена вертикально (рис.35, б ).

Для определения этих реакций воспользуемся уравнениями равновесия.

ΣM A = 0; -Q ∙1 + R В ∙3 - M + Т ∙5 = 0,

R В = (1/3) (Q + M - Р ∙5) = (1/3) (3 + 4 - 2∙5) = -1 кН.

ΣM B = 0; - R A ∙3 + Q ∙2 - M + Т ∙2 = 0,

R A = (1/3) (Q ∙2 - M + Р ∙2) = (1/3) (3∙2 - 4 + 2∙2) = 2 кН.

Рис.35

Чтобы проверить правильность полученного решения, воспользуемся дополнительным уравнением равновесия:

ΣY i = R A - Q + R В + Т = 2 - 3 - 1 + 2 = 0,

то есть, задача решена правильно.

Пример 14. Найти опорные реакции консольной балки, загруженной распределенной нагрузкой (рис.36, а ).

Решение. Равнодействующая распределенной нагрузки приложена в центре тяжести грузовой эпюры. Чтобы не искать положение центра тяжести трапеции, представим ее в виде суммы двух треугольников. Тогда заданная нагрузка будет эквивалентна двум силам: Q 1 = (1/2)∙3∙2 = 3 кН и Q 2 = (1/2)∙3∙4 = 6 кН, которые приложены в центре тяжести каждого из треугольников (рис.36,б ).

Рис.36

Опорные реакции жесткого защемления представлены силой R A и моментом M A , для определения которых удобнее использовать уравнения равновесия системы параллельных сил, то есть:

ΣM A = 0; M A = 15 кН∙м;

ΣY = 0, R A = 9 кН.

Для проверки воспользуемся дополнительным уравнением ΣM В = 0, где точка В находится на правом конце балки:

ΣM В = M A - R A ∙3 + Q 1 ∙2 + Q 2 ∙1 = 15 - 27 + 6 +6 = 0.

Пример 15. Однородная балка весом Q = 600 Н и длиной l = 4 м опирается одним концом на гладкий пол, а промежуточной точкой В на столб высотой h = 3 м, образуя с вертикалью угол 30°. В таком положении балка удерживается веревкой, протянутой по полу. Определить натяжение веревки T и реакции столба - R B и пола - R A (рис.37,а ).

Решение. Под балкой или стержнем в теоретической механике понимают тело, у которого поперечными размерами в сравнении с его длиной можно пренебречь. Таким образом, вес Q однородной балки приложен в точке С , где АС = 2 м.

Рис.37

1) Поскольку две неизвестных реакции из трех приложены в точке А , первым следует составить уравнение ΣM A = 0, так как туда войдет только реакция R B :

- R B АВ + Q ∙(l /2)∙sin30° = 0,

где АВ = h /cos30°= 2 м.

Подставляя в уравнение, получим:

R B ∙2 = 600∙2∙(1/2) = 600,

R B = 600/ (2 ) = 100 ≅ 173 Н.

Аналогично из моментного уравнения можно было бы найти и реакцию R A , выбрав в качестве моментной точку, где пересекаются линии действия R B и Т . Однако это потребует дополнительных построений, поэтому проще воспользоваться другими уравнениями равновесия:

2) ΣX = 0; R B ∙cos30° - Т = 0; → Т = R B ∙cos30°= 100 ∙( /2) = 150 Н;

3) ΣY = 0, R B ∙sin30°- Q + R A = 0; → R A = Q - R B ∙sin30°= 600 - 50 ≅ 513 Н.

Таким образом, мы нашли Т и R A через R B , поэтому проверить правильность полученного решения можно с помощью уравнения: ΣM B = 0, куда в явном или неявном виде войдут все найденные реакции:

R A АВ sin30°- Т АВ cos30° - Q ∙(АВ - l /2)∙sin30°= 513∙2 ∙(1/2) - 150∙2 ∙( /2) - 600∙ (2 - 2)∙(1/2) = 513∙ - 150∙3 - 600∙( -1) ≅ 513∙1,73 - 450 - 600∙0,73 = 887,5 - 888 = -0,5.

Полученная в результате округления невязка ∆= -0,5 называется абсолютной погрешностью вычисления.

Для того чтобы ответить на вопрос насколько точным является полученный результат, вычисляют относительную погрешность , которая определяется по формуле:

ε=[|∆| / min(|Σ + |, |Σ - |)]∙100% =[|-0,5| / min(|887,5|, |-888|)]∙100% = (0,5/887,5)∙100% = 0,06%.

Пример 16. Определить опорные реакции рамы (рис.38). Здесь и в дальнейшем, если не оговорено специально, все размеры на рисунках будем считать указанными в метрах, а силы - в килоньютонах.

Рис.38

Решение. Рассмотрим равновесие рамы, к которой в качестве активной приложена сила натяжения нити Т , равная весу груза Q .

1) Реакцию подвижной опоры R B найдем из уравнения ΣM A = 0. Чтобы при этом не вычислять плечо силы Т , воспользуемся теоремой Вариньона, разложив эту силу на горизонтальную и вертикальную составляющие:

R B ∙2 + Т sin30°∙3 - Т cos30°∙4 = 0; → R B = (1/2)∙ Q (cos30°∙4 - sin30°∙3) = (5/4) ∙ (4 - 3) кН.

2) Для вычисления Y A составим уравнение ΣM С = 0, где точка С лежит на пересечении линий действия реакций R B и Х A :

- Y A ∙2 + Т sin30°∙3 - Т cos30°∙2 = 0; → Y A = (1/2)∙ Q (sin30°∙3 -cos30°∙2) = (5/4) ∙ (3 -2 ) кН.

3) Наконец, находим реакцию Х A :

ΣX = 0; Х A - Т sin30° = 0; → Х A = Q sin30° = 5/2 кН.

Поскольку все три реакции были найдены независимо друг от друга, для проверки нужно взять уравнение, в которое входит каждая из них:

ΣM D = Х A ∙3 - Y A ∙4 - R B ∙2 = 15/2 - 5∙(3 -2 ) - (5/2)∙ (4 - 3) = 15/2 - 15 + 10 -10 +15/2 = 0.

Пример 17. Определить опорные реакции стержня, имеющего ломаное очертание (рис.39,а ).

Решение. Заменяем распределенную нагрузку на каждом участке стержня сосредоточенными силами Q 1 = 5 кН и Q 2 = 3 кН, а действие отброшенного жесткого защемления - реакциями Х A ,Y A и M А (рис.39,б ).

Рис.39

1) ΣM А = 0; M А -Q 1 ∙2,5 - Q 2 ∙5,5 = 0; → M А = 5∙2,5 + 3∙5,5 = 12,5 + 16,5 = 29 кНм.

2) ΣX = 0; Х A + Q 1 ∙sina = 0; → Х A = -5∙(3/5) = -3 кН.

3) ΣY = 0; Y A - Q 1 cosa - Q 2 = 0; → Y A = 5∙(4/5) + 3 = 4 + 3 = 7 кН, так как sinα = 3/5, cosα = 4/5.

Проверка: ΣM В = 0; M А + Х A ∙3 - Y A ∙7 + Q 1 cosα∙4,5 + Q 1 sinα∙1,5 + Q 2 ∙1,5 = 29 -3∙3 - 7∙7 + 5∙(4/5)∙5 + 5∙(3/5)∙1,5 + 3∙1,5 = 29 - 9 - 49 + 20 + 4,5 + 4,5 = 58 - 58 = 0.

Пример 18. Для рамы изображенной на рис.40, а, требуется определить опорные реакции. Дано: F = 50 кН, М = 60 кН∙м, q = 20 кН/м.

Решение . Рассмотрим равновесие рамы. Мысленно освобождаем раму от связей на опорах (рис.40, б ) и выделяем объект равновесия. Рама загружена активной нагрузкой в виде произвольной плоской системы сил. Вместо отброшенных связей прикладываем к объекту равновесия реакции: на шарнирно-неподвижной опоре А - вертикальную V A и горизонтальную H A , а на шарнирно-подвижной опоре В - вертикальную реакцию V B Предполагаемое направление реакций показано на рис.40, б .

Рис.40. Расчетная схема рамы и объект равновесия к примеру 18:

а – расчетная схема; б – объект равновесия

Составляем следующие условия равновесия:

ΣF x = 0; -H A + F = 0; H A = 50 кН.

Σm A = 0; V B ∙6 + M - q ∙6∙3 - F ∙6 = 0; V B = 100 кН.

ΣF y = 0; V A + V B - q ∙6 = 0; V A = 20 кН.

Здесь условно принято направление вращения вокруг моментных точек против движения часовой стрелки за положительное.

Для проверки правильности вычисления реакций используем условие равновесия, в которое входили бы все опорные реакции, например:

Σm C = 0; V B ∙3 + M H A ∙6 – V A ∙3 = 0.

После подстановки численных значений получаем тождество 0=0.

Таким образом, направления и величины опорных реакций определены верно.

Пример 19. Определить опорные реакции рамы (рис.41,а ).

Рис.41

Решение. Как и в предыдущем примере, рама состоит из двух частей, соединенных ключевым шарниром С. Распределенную нагрузку, приложенную к левой части рамы, заменяем равнодействующей Q 1 , а к правой - равнодействующей Q 2 , где Q 1 = Q 2 = 2кН.

1) Находим реакцию R B из уравнения ΣM С (ВС ) = 0; → R B = 1кН;

В инженерных расчетах часто приходится встречаться с нагрузками, распределенными вдоль данной поверхности по тому или иному закону. Рассмотрим некоторые простейшие примеры распределенных сил, лежащих в одной плоскости.

Плоская система распределенных сил характеризуется ее интенсивностью q, т. е. значением силы, приходящейся на единицу длины нагруженного отрезка. Измеряется интенсивность в ньютонах, деленных на метры

1) Силы, равномерно распределенные вдоль отрезка прямой (рис. 69, а). Для такой системы сил интенсивность q имеет постоянное значение. При статических расчетах эту систему сил можно заменить равнодействующей

По модулю,

Приложена сила Q в середине отрезка АВ.

2) Силы, распределенные вдоль отрезка прямой по линейному закону (рис. 69, б). Примером такой нагрузки могут служить силы давления воды на плотину, имеющие наибольшее значение у дна и падающие до нуля у поверхности воды. Для этих сил интенсивность q является величиной переменной, растущей от нуля до максимального значения Равнодействующая Q таких сил определяется аналогично равнодействующей сил тяжести, действующих на однородную треугольную пластину ABC. Так как вес однородной пластины пропорционален ее площади, то, по модулю,

Приложена сила Q на расстоянии от стороны ВС треугольника ABC (см. § 35, п. 2).

3) Силы, распределенные вдоль отрезка прямой по произвольному закону (рис. 69, в). Равнодействующая Q таких сил, по аналогии с силой тяжести, по модулю равна площади фигуры ABDE, измеренной в соответствующем масштабе, и проходит через центр тяжести этой площади (вопрос об определении центров тяжести площадей будет рассмотрен в § 33).

4) Силы, равномерно распределенные по дуге окружности (рис. 70). Примером таких сил могут служить силы гидростатического давления на боковые стенки цилиндрического сосуда.

Пусть радиус дуги равен , где - ось симметрии, вдоль которой направим ось Действующая на дугу система сходящихся сил имеет равнодействующую Q, направленную в силу симметрии вдоль оси при этом численно

Для определения величины Q выделим на дуге элемент, положение которого определяется углом а длина Действующая на этот элемент сила численно равна а проекция этой силы на ось будет Тогда

Но из рис. 70 видно, что Следовательно, так как то

где - длина хорды, стягивающей дугу АВ; q - интенсивность.

Задача 27. На консольную балку А В, размеры которой указаны на чертеже (рис. 71), действует равномерно распределенная нагрузка интенсивностью Пренебрегая весом балки и считая, что силы давления на заделанный конец - определены по линейному закону, определить значения наибольших интенсивностей этих сил, если

Решение. Заменяем распределенные силы их равнодействующими Q, R и R, где согласно формулам (35) и (36)

и составляем условия равновесия (33) для действующих на балку параллельны сил

Подставляя сюда вместо Q, R я R их значения и решая полученные уравнения, найдем окончательно

Например, при получим а при

Задача 28. Цилиндрический баллон, высота которого равна Н, а внутренний диаметр d, наполнен газом под давлением Толщина цилиндрических стенок баллона а. Определить испытываемые этими стенками растягивающие напряжения в направлениях: 1) продольном и 2) поперечном (напряжение равно отношению растягивающей силы к площади поперечного сечения), считая малым.

Решение. 1) Рассечем цилиндр плоскостью, перпендикулярной его оси, на две части и рассмотрим равновесие одной из них (рис.

72, а). На нее в направлении оси цилиндра действуют сила давления на дно и распределенные по площади сечения силы (действие отброшенной половины), равнодействующую которых обозначим Q. При равновесии

Считая приближенно площадь поперечного сечения равной получим для растягивающего напряжения значение

В инженерных расчетах наряду с сосредоточенными силами, которые прилагаются к твердому телу в некоторой точке, встречаются силы, действие которых распределено по определенным участкам объема тела, его поверхности или линии.

Поскольку все аксиомы и теоремы статики формулируются для сосредоточенных сил, то необходимо рассмотреть способы перехода от распределенной нагрузки к сосредоточенным силам.

Рассмотрим некоторые простые случаи распределенной нагрузки тела параллельными силами, которые лежат в одной плоскости вдоль отрезка прямой.

Плоская система распределенных сил характеризуется ее интенсивностью q , то есть величиной силы, которая приходится на единицу длины нагруженного отрезка. Единицей измерения интенсивности является Ньютон, поделенный на метр (Н/м). Интенсивность может быть постоянной (равномерно распределенная нагрузка) или изменяться по линейным и произвольным законам.

Равномерно распределенная нагрузка (рис. 2.5, а), интенсивность которой q является постоянной величиной, при статических расчетах заменяется одной сосредоточенной силой, модуль которой

где – длина нагруженного отрезка.

а) б) в)

Рисунок 2.5

Эта равнодействующая сила , параллельная силам распределенной нагрузки, направлена в направлении распределенных сил и прикладывается посредине нагруженного отрезка АВ .

Такая нагрузка имеет место при размещении на теле однородной балки длиной l с удельным весом q .

Распределенная нагрузка с интенсивностью, изменяющейся по линейному закону (рис. 2.5, б), появляется, например, под действием давления воды на дамбу, когда нагружение на дамбу будет наибольшим возле дна водоема и является нулевым возле поверхности воды. При этом величина q интенсивности растет от нулевого значения к наибольшему значению q max . Равнодействующая Q такой нагрузки определяется как вес однородной треугольной пластинки АВС , который пропорционален ее площади. Тогда величина этой равнодействующей:

Линия действия равнодействующей силы проходит через центр треугольника АВС на расстоянии от его вершины А .

Примером действия сил, распределенных вдоль отрезка прямой по произвольному закону (рис. 2.5, в), является нагрузка плоского перекрытия сугробом снега. Равнодействующая таких сил по аналогии с силой веса численно будет равняться площади фигуры, измеренной в соответствующем масштабе, а линия действия этой равнодействующей будет проходить через центр площади этой фигуры.

Каждый владелец трехфазного ввода (380 В) обязан позаботиться о равномерной нагрузке на фазы, дабы избежать перегрузки одной из них. При неравномерном распределении на трехфазном вводе, при отгорании нуля или его плохом контакте, напряжения на фазных проводах начинают различаться друг от друга, как в большую так и в меньшую сторону. На уровне однофазного питания (220 Вольт) это может повлечь за собой поломку электрических приборов, из-за повышенного напряжения 250-280 Вольт, или же пониженного 180-150 Вольт. Помимо этого в данном случае наблюдается завышенное потребление электроэнергии у нечувствительных к перекосу напряжений электрических приборов. В этой статье мы расскажем вам, как выполняется распределение нагрузки по фазам, предоставив краткую инструкцию со схемой и видео примером.

Что важно знать

Данная диаграмма условно иллюстрирует трехфазную сеть:

Напряжение между фазами 380 вольт обозначено синим цветом. Зеленым цветом обозначено равномерное распределенное линейное напряжение. Красным — перекос напряжений.

Новым, трехфазным абонентам электросети в частном доме или квартире, при первом подключении, не стоит сильно надеяться на изначально равномерно распределенную нагрузку на вводной линии. Поскольку от одной линии могут быть запитаны несколько потребителей, а у них с распределением могут возникать проблемы.

Если после измерений вы увидели, что есть (более 10%, согласно ГОСТ 29322-92), необходимо обратиться в электроснабжающую организацию для принятия соответствующих мероприятий по восстановлению симметрии фаз. Более подробно о том, можете узнать из нашей статьи.

Согласно договору между абонентом и РЭС (о пользовании электроэнергией), последние должны поставлять качественную электроэнергию в дома, с указанным . Частота также должна соответствовать 50 Герц.

Правила распределения

При проектировании схемы проводки необходимо максимально одинаково подбирать предполагаемые группы потребителей и распределить их по фазам. К примеру, каждая группа розеток по комнатам в доме подключена к своему фазному проводу и сгруппирована таким образом, чтобы нагрузка на сеть была оптимальна. Таким же образом организовывают линии освещения, выполняя их распределение по разным фазным проводника и так далее: стиральная машина, печь, духовка, котел, бойлер.

Замена распределенных сил эквивалентными сосредоточенными — Студопедия

В задачах встречаются системы параллельных сил, распределенных по некоторому закону вдоль прямолинейного стержня (рис.1.33).

Рис.1.33

Такие распределенные силы характеризуются интенсивностью q, равной величине силы, приходящейся на единицу длины нагруженного отрезка (например, погонный вес балки как элемента строительной конструкции). В общем случае интенсивность является некоторой функцией q(x) координаты x, отсчитываемой вдоль нагруженного отрезка.

Интенсивность измеряется в системе единиц СИ в ньютонах, деленных на метры (Н/м).

Рис.1.34

Рассмотрим систему параллельных сил, распределенных по произвольному закону q(x) вдоль прямолинейного отрезка длиной a и направленных

перпендикулярно этому отрезку (рис.1.33).

Величина главного вектора и главный алгебраический момент MO относительно центра (т. О) определяются суммированием (интегрированием) элементарных бесконечно малых сил q(x)·dx моментов x·q(x)·dx по всей длине нагруженного участка:

.

Если приложить главный вектор в точке стержня, удаленной от О на расстоянии (рис.1.34), то его момент относительно т.О станет равным главному алгебраическому моменту М0. Это означает, что приложенный в этой точке один вектор * определяет такой же главный вектор и главный алгебраический момент системы. Таким образом, системы эквивалентны. Следовательно, приложенный в этой точке главный вектор * является равнодействующей силой, или, как принято говорить, сосредоточенной силой, эквивалентной исходной распределенной нагрузке.


Итак, формулы для оценки эквивалентной сосредоточенной силы и точки её приложения:

  (1.36)

Воспользуемся полученными формулами для двух часто встречающихся случаев: равномерно и линейно распределенные нагрузки.

Равномерно распределенная нагрузка (рис.1.35).

Рис.1.35

Здесь интенсивность постоянна: q = const. Распределенную нагрузку можно заменить сосредоточенной силой , равной произведению интенсивности на длину отрезка и приложенной к середине нагруженного участка:

  (1.37)

Силы, распределенные по линейному закону (рис.1.36).

Рис.1.36

Для такой системы сил интенсивность q меняется от нуля до максимального значения qmax по линейному закону.

Эквивалентная сосредоточенная сила этой системы приложена в точке, делящей нагруженный участок в соотношении 2 : 1 (рис.1.36) и равна:

  (1.38)

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1. Определите величину и точку приложения равномерно распределенной нагрузки.

2. Определите величину и точку приложения линейно распределенной нагрузки.

3. Какую размерность имеет погонный вес?

Балка нагружена равномерно распределенной нагрузкой. Распределенная нагрузка

Расстояние между сосредоточенными нагрузками одинаковое, при этом расстояние от начала пролета до первой сосредоточенной нагрузки равно расстоянию между сосредоточенными нагрузками. В этом случае сосредоточенные нагрузки также попадают на начало и на конец пролета, но при этом вызывают только увеличение опорной реакции, на значение изгибающих моментов и на прогиб крайние сосредоточенные нагрузки никак не влияют, а потому при расчетах несущей способности конструкции не учитываются. Рассмотрим это на примере балок перекрытия опирающихся на перемычку. Кирпичная кладка, которая может быть между перемычкой и балками перекрытия, и создавать при этом равномерно распределенную нагрузку, для простоты восприятия не показана.

Рисунок 1 . Приведение сосредоточенных нагрузок к эквивалентной равномерно распределенной нагрузке.

Как видно из рисунка 1, определяющим является изгибающий момент, который используется при расчетах конструкций на прочность. Таким образом, чтобы равномерно распределенная нагрузка создавала такой же изгибающий момент, как и сосредоточенная нагрузка, ее нужно умножить на соответствующий коэффициент перехода (коэффициент эквивалентности). А определяется этот коэффициент из условий равенства моментов. Думаю, рисунок 1 это очень хорошо иллюстрирует. А еще, анализируя полученные зависимости, можно вывести общую формулу для определения коэффициента перехода. Так, если количество приложенных сосредоточенных нагрузок является нечетным, т.е. одна из сосредоточенных нагрузок обязательно попадает на середину пролета, то для определения коэффициента эквивалентности можно использовать формулу:

γ = n/(n - 1) (305.1.1)

где n - количество пролетов между сосредоточенными нагрузками.

q экв = γ(n-1)Q/l (305.1.2)

где (n-1) - количество сосредоточенных нагрузок.

Впрочем, иногда удобнее производить расчеты, исходя из количества сосредоточенных нагрузок. Если это количество выразить переменной m, то тогда

γ = (m +1)/m (305.1.3)

При этом эквивалентная равномерно распределенная нагрузка будет равна:

q экв = γmQ/l (305.1.4)

Когда количество сосредоточенных нагрузок является четным, т.е. ни одна из сосредоточенных нагрузок не попадает на середину пролета, то значение коэффициента можно принимать, как для следующего нечетного значения количества сосредоточенных нагрузок. В целом при соблюдении указанных условий загружения можно принимать следующие коэффициенты перехода:

γ = 2 - если на рассматриваемую конструкцию, например, балку попадает только одна сосредоточенная нагрузка посредине перемычки.

γ = 1.33 - для балки, на которую действуют 2 или 3 сосредоточенные нагрузки;

γ = 1.2 - для балки, на которую действуют 4 или 5 сосредоточенных нагрузок;

γ = 1.142 - для балки, на которую действуют 6 или 7 сосредоточенных нагрузок;

γ = 1.11 - для балки, на которую действуют 8 или 9 сосредоточенных нагрузок.

2 вариант

Расстояние между сосредоточенными нагрузками одинаковое, при этом расстояние от начала пролета до первой сосредоточенной нагрузки равно половине расстояния между сосредоточенными нагрузками. В этом случае сосредоточенные нагрузки не попадают на начало и на конец пролета.

Рисунок 2 . Значения коэффициентов перехода при 2 варианте приложения сосредоточенных нагрузок.

Как видно из рисунка 2, при таком варианте загружения значение коэффициента перехода будет значительно меньше. Так, например, при четном количестве сосредоточенных нагрузок, коэффициент перехода вообще можно принимать равным единице. При нечетном количестве сосредоточенных нагрузок для определения коэффициента эквивалентности можно использовать формулу:

γ = (m +7)/(m +6) (305.2.1)

где m - количество сосредоточенных нагрузок.

При этом эквивалентная равномерно распределенная нагрузка все также будет равна:

q экв = γmQ/l (305.1.4)

В целом при соблюдении указанных условий загружения можно принимать следующие коэффициенты перехода:

γ = 2 - если на рассматриваемую конструкцию, например, балку попадает только одна сосредоточенная нагрузка посредине перемычки, а попадают ли балки перекрытия на начало или конец пролета или расположены сколь угодно далеко от начала и конца пролета, в данном случае значения не имеет. А значение это имеет при определении сосредоточенной нагрузки.

γ = 1 - если на рассматриваемую конструкцию, действует четное количество нагрузок.

γ = 1.11 - для балки, на которую действуют 3 сосредоточенные нагрузки;

γ = 1.091 - для балки, на которую действуют 5 сосредоточенных нагрузок;

γ = 1.076 - для балки, на которую действуют 7 сосредоточенных нагрузок;

γ = 1.067 - для балки, на которую действуют 9 сосредоточенных нагрузок.

Не смотря на некоторую заковыристость определения, коэффициенты эквивалентности очень просты и удобны. Так как при расчетах очень часто известна распределенная нагрузка, действующая на квадратный или погонный метр, то чтобы не переводить распределенную нагрузку сначала в сосредоточенную, а потом снова в эквивалентную распределенную, достаточно просто умножить значение распределенной нагрузки на соответствующий коэффициент. Например, на перекрытие будет действовать нормативная распределенная нагрузка 400 кг/м 2 , при этом собственный вес перекрытия составит еще 300 кг/м 2 . Тогда при длине балок перекрытия 6 м на перемычку могла бы действовать равномерно распределенная нагрузка q = 6(400 + 300)/2 = 2100 кг/м. А дальше, если будет только одна балка перекрытия посредине пролета, то γ = 2, а

q экв = γq = 2q (305.2.2)

Если ни одно из двух вышеприведенных условий не соблюдается, то использовать коэффициенты перехода в чистом виде нельзя, нужно добавить еще пару дополнительных коэффициентов, учитывающих расстояние до балок, не попадающих на начало и конец пролета перемычки, а также возможную несимметричность приложения сосредоточенных нагрузок. Вывести такие коэффициенты в принципе можно, однако в любом случае они будут понижающими во всех случаях, если рассматривать 1 вариант загружения и в 50% случаев, если рассматривать 2 вариант загружения, т.е. значения таких коэффициентов будут

В инженерных расчетах часто приходится встречаться с нагрузками, распределенными вдоль данной поверхности по тому или иному закону. Рассмотрим некоторые простейшие примеры распределенных сил, лежащих в одной плоскости.

Плоская система распределенных сил характеризуется ее интенсивностью q, т. е. значением силы, приходящейся на единицу длины нагруженного отрезка. Измеряется интенсивность в ньютонах, деленных на метры


1) Силы, равномерно распределенные вдоль отрезка прямой (рис. 69, а). Для такой системы сил интенсивность q имеет постоянное значение. При статических расчетах эту систему сил можно заменить равнодействующей

По модулю,

Приложена сила Q в середине отрезка АВ.

2) Силы, распределенные вдоль отрезка прямой по линейному закону (рис. 69, б). Примером такой нагрузки могут служить силы давления воды на плотину, имеющие наибольшее значение у дна и падающие до нуля у поверхности воды. Для этих сил интенсивность q является величиной переменной, растущей от нуля до максимального значения Равнодействующая Q таких сил определяется аналогично равнодействующей сил тяжести, действующих на однородную треугольную пластину ABC. Так как вес однородной пластины пропорционален ее площади, то, по модулю,

Приложена сила Q на расстоянии от стороны ВС треугольника ABC (см. § 35, п. 2).

3) Силы, распределенные вдоль отрезка прямой по произвольному закону (рис. 69, в). Равнодействующая Q таких сил, по аналогии с силой тяжести, по модулю равна площади фигуры ABDE, измеренной в соответствующем масштабе, и проходит через центр тяжести этой площади (вопрос об определении центров тяжести площадей будет рассмотрен в § 33).

4) Силы, равномерно распределенные по дуге окружности (рис. 70). Примером таких сил могут служить силы гидростатического давления на боковые стенки цилиндрического сосуда.

Пусть радиус дуги равен , где - ось симметрии, вдоль которой направим ось Действующая на дугу система сходящихся сил имеет равнодействующую Q, направленную в силу симметрии вдоль оси при этом численно

Для определения величины Q выделим на дуге элемент, положение которого определяется углом а длина Действующая на этот элемент сила численно равна а проекция этой силы на ось будет Тогда

Но из рис. 70 видно, что Следовательно, так как то

где - длина хорды, стягивающей дугу АВ; q - интенсивность.

Задача 27. На консольную балку А В, размеры которой указаны на чертеже (рис. 71), действует равномерно распределенная нагрузка интенсивностью Пренебрегая весом балки и считая, что силы давления на заделанный конец - определены по линейному закону, определить значения наибольших интенсивностей этих сил, если

Решение. Заменяем распределенные силы их равнодействующими Q, R и R, где согласно формулам (35) и (36)

и составляем условия равновесия (33) для действующих на балку параллельны сил

Подставляя сюда вместо Q, R я R их значения и решая полученные уравнения, найдем окончательно

Например, при получим а при

Задача 28. Цилиндрический баллон, высота которого равна Н, а внутренний диаметр d, наполнен газом под давлением Толщина цилиндрических стенок баллона а. Определить испытываемые этими стенками растягивающие напряжения в направлениях: 1) продольном и 2) поперечном (напряжение равно отношению растягивающей силы к площади поперечного сечения), считая малым.

Решение. 1) Рассечем цилиндр плоскостью, перпендикулярной его оси, на две части и рассмотрим равновесие одной из них (рис.

72, а). На нее в направлении оси цилиндра действуют сила давления на дно и распределенные по площади сечения силы (действие отброшенной половины), равнодействующую которых обозначим Q. При равновесии

Распределенные нагрузки

Воздействие на детали, конструкции, элементы механизмов может быть задано распределенными нагрузками: в плоской системе задается интенсивность действия по длине конструкции, в пространственной системе – по площади.

Размерность для линейной нагрузки - Н/м, для нагрузки распределенной по площади - Н/м 2 , для объемной (например при учете собственного веса элементов конструкции) - Н/м 3 .

Например, на рисунке 1.23, а приведена равномерно распределенная по длине , измеряемая в Н/м. Эта нагрузка может быть заменена сосредоточенной силой

Q = q ∙ AB [Н],

приложенной в середине отрезка AB .

На рисунке 1.23, б показана равномерно убывающая (возрастающая) нагрузка, которая может быть заменена равнодействующей силой

Q = q max ∙AB/2 ,

приложенной в точке C , причем AC = 2/3AB .

В произвольном случае, зная функцию q(x) (рисунок 1.23, в), рассчитываем эквивалентную силу

Эта сила приложена в центре тяжести площади, ограниченной сверху от балки AB линией q(x) .

Рисунок 1.23

Примером может служить расчет усилий, разрывающих стенки баллона со сжатым газом. Определим результирующую силу давления в секторе трубы при интенсивности q [Н/м]; R – радиус трубы, – центральный угол, ось Ox – ось симметрии (рисунок 1.24).

Выделим элемент сектора с углом ∆φ и определим силу ∆Q , действующую на плоский элемент дуги:

∆Q = q ∙ ∆l = q ∙ R ∙ ∆φ . (1.14)

Рисунок 1.24

Ox будет

∆Q x = q ∙ R ∙ ∆φ∙ cosφ . (1.15)

В силу симметрии элемента трубы (с дугой AB ) относительно оси Ox проекция результирующей силы на ось Oy :

Q y = 0 , т.е. Q = Q x , (1.16)

где АВ – хорда, стягивающая концы дуги.

Для цилиндрической емкости высотой h и внутренним давлением P на стенки действует нагрузка интенсивностью q = p [Н/м, 2 ] . Если цилиндр рассечен по диаметру (рисунок 1.25), то равна F = q ∙ d ∙ h (d – внутренний диаметр) или

F = p ∙ 2R ∙ h .

Разрывающие баллон по диаметру усилия:

S 1 = S 2 = S;
2S = F;
S = p∙h∙R
. (1.18)

Распределенные нагрузки

Воздействие на детали, конструкции, элементы механизмов может быть задано распределенными нагрузками: в плоской системе задается интенсивность действия по длине конструкции, в пространственной системе – по площади.

Размерность для линейной нагрузки - Н/м, для нагрузки распределенной по площади - Н/м 2 , для объемной (например при учете собственного веса элементов конструкции) - Н/м 3 .

Например, на рисунке 1.23, а приведена равномерно распределенная по длине , измеряемая в Н/м. Эта нагрузка может быть заменена сосредоточенной силой

Q = q ∙ AB [Н],

приложенной в середине отрезка AB .

На рисунке 1.23, б показана равномерно убывающая (возрастающая) нагрузка, которая может быть заменена равнодействующей силой

Q = q max ∙AB/2 ,

приложенной в точке C , причем AC = 2/3AB .

В произвольном случае, зная функцию q(x) (рисунок 1.23, в), рассчитываем эквивалентную силу

Эта сила приложена в центре тяжести площади, ограниченной сверху от балки AB линией q(x) .

Рисунок 1.23

Примером может служить расчет усилий, разрывающих стенки баллона со сжатым газом. Определим результирующую силу давления в секторе трубы при интенсивности q [Н/м]; R – радиус трубы, – центральный угол, ось Ox – ось симметрии (рисунок 1.24).

Выделим элемент сектора с углом ∆φ и определим силу ∆Q , действующую на плоский элемент дуги:

∆Q = q ∙ ∆l = q ∙ R ∙ ∆φ . (1.14)

Рисунок 1.24

Ox будет

∆Q x = q ∙ R ∙ ∆φ∙ cosφ . (1.15)

В силу симметрии элемента трубы (с дугой AB ) относительно оси Ox проекция результирующей силы на ось Oy :

Q y = 0 , т.е. Q = Q x , (1.16)

где АВ – хорда, стягивающая концы дуги.

Для цилиндрической емкости высотой h и внутренним давлением P на стенки действует нагрузка интенсивностью q = p [Н/м, 2 ] . Если цилиндр рассечен по диаметру (рисунок 1.25), то равна F = q ∙ d ∙ h (d – внутренний диаметр) или

F = p ∙ 2R ∙ h .

Разрывающие баллон по диаметру усилия:

S 1 = S 2 = S;
2S = F;
S = p∙h∙R
. (1.18)

Статика: распределенные нагрузки

Раздел 7.8 Распределенная нагрузка

Ключевые вопросы
  • Что такое распределенная нагрузка?

  • Учитывая распределенную нагрузку, как определить величину эквивалентной сосредоточенной силы?

  • Учитывая распределенную нагрузку, как определить местоположение эквивалентной сосредоточенной силы?

Распределенные нагрузки - это силы, распределенные по длине, площади или объему.Большинство реальных нагрузок распределяются, включая вес строительных материалов и силу ветра, воды или земли, толкающих поверхность. Давление, нагрузка, плотность веса и напряжение - все это названия, обычно используемые для распределенных нагрузок. Распределенная нагрузка - это сила на единицу длины или сила на единицу площади, изображенная рядом векторов силы, соединенных вместе вверху, и будет обозначена как \ (w (x) \), чтобы указать, что распределенная нагрузка является функцией от \ (х \ текст {.} \)

Например, хотя полка с книгами может рассматриваться как как совокупность отдельных сил, более распространено и удобно представлять вес книг как равномерно распределенную нагрузку .Равномерно распределенная нагрузка - это нагрузка, которая везде имеет одинаковое значение, т.е. \ (w (x) = C \ text {,} \) постоянная.

(а) Полка с книгами разного веса. (б) Каждая книга представлена ​​индивидуальным весом. (c) Все книги представлены как распределенная загрузка. Рисунок 7.8.1.

Мы можем использовать вычислительные инструменты, описанные в предыдущих главах, для обработки распределенных нагрузок, если мы сначала преобразуем их в эквивалентные точечные силы. Этой эквивалентной заменой должен быть результирующий распределенной нагрузки, как описано в разделе 4.7. Вспомните, что эта равнодействующая сила оказывает на объект такое же воздействие, как и исходная система сил.

Чтобы быть эквивалентным, точечная сила должна иметь:

В следующих двух разделах будет рассмотрено, как найти величину и местоположение эквивалентной точечной силы для распределенной нагрузки.

Подраздел 7.8.1 Эквивалентная величина

Величина распределенной загрузки книг - это общий вес книг, деленный на длину полки

\ begin {уравнение *} w (x) = \ frac {\ Sigma W_i} {\ ell} \ text {.} \ end {уравнение *}

Это означает средний вес книги на единицу длины. Точно так же общий вес книг равен величине распределенной загрузки, умноженной на длину полки, или

.

\ begin {align *} W \ amp = w (x) \ ell \\ \ text {общий вес} \ amp = \ frac {\ text {weight}} {\ text {length}} \ times \ \ text {длина полки} \ end {выровнять *}

Эта общая нагрузка - это просто площадь под кривой \ (w (x) \ text {,} \) и выражается в единицах силы. Если функция загрузки неоднородна, для определения площади может потребоваться интегрирование.

Пример 7.8.2. Книжная полка.

Обычная мягкая обложка имеет толщину примерно \ (\ cm {3} \) и весит примерно \ (\ N {3} \ text {.} \)

Какова функция загрузки \ (w (x) \) для полки, полной книг в мягкой обложке, и каков общий вес книг в мягкой обложке на полке \ (\ m {6} \)?

Отвечать.

\ begin {align *} ш (х) \ amp = \ Nperm {100} \\ W \ amp = \ N {600} \ end {выровнять *}

Решение.

Вес одной мягкой обложки по толщине равен интенсивности нагрузки \ (w (x) \ text {,} \), поэтому

\ begin {уравнение *} w (x) = \ frac {\ N {3}} {\ cm {3}} = \ Nperm {100} \ text {.} \ end {уравнение *}

Общий вес - это площадь под диаграммой интенсивности нагрузки, которая в данном случае представляет собой прямоугольник. Таким образом, книжная полка \ (\ m {6} \), покрытая мягкой обложкой, должна поддерживать

\ begin {уравнение *} W = w (x) \ ell = (\ Nperm {100}) (\ m {6}) = \ N {600} \ text {.} \ end {уравнение *}

Линия действия этой эквивалентной нагрузки проходит через центр тяжести прямоугольной нагрузки, поэтому она действует в точке \ (x = \ m {3} \ text {.} \)

Подраздел 7.8.2 Эквивалентное местоположение

Чтобы использовать распределенную нагрузку в задаче о равновесии, вы должны знать эквивалентную величину для суммирования сил, а также знать положение или линию действия для суммирования моментов.

Линия действия эквивалентной силы действует через центр тяжести площади под кривой интенсивности нагрузки. Для прямоугольной нагрузки центр тяжести находится в центре. Мы знаем вертикальные и горизонтальные координаты этого центроида, но поскольку линия действия эквивалентной точечной силы вертикальна, и мы можем перемещать силу вдоль ее линии действия, вертикальная координата центроида в данном контексте не важна.

Точно так же для треугольной распределенной нагрузки - также называемой равномерно изменяющейся нагрузкой - величина эквивалентной силы равна площади треугольника \ (bh / 2 \), а линия действия проходит через центр тяжести треугольника. .Горизонтальное расстояние от большего конца треугольника до центроида равно \ (\ bar {x} = b / 3 \ text {.} \)

По сути, мы находим точку баланса, так что момент силы слева от центроида совпадает с моментом силы справа.

Приведенные ниже примеры иллюстрируют, как можно объединить вычисление как величины, так и местоположения эквивалентной точечной силы для серии распределенных нагрузок.

Пример 7.8.3. Равномерно изменяющаяся нагрузка.

Найдите эквивалентную точечную силу и точку ее приложения для показанной распределенной нагрузки.

Отвечать.

Эквивалентная нагрузка равна \ (\ lb {30} \) направленной вниз силе, действующей на \ (\ ft {4} \) с левого конца.

Решение. 1

Эквивалентная нагрузка - это «площадь» под треугольной кривой интенсивности нагрузки, действующая прямо вниз в центре тяжести треугольника. Эта треугольная загрузка имеет основание \ (\ ft {6} \) и высоту \ (\ lbperft {10} \), поэтому

\ begin {уравнение *} W = \ frac {1} {2} b h = \ frac {1} {2} (\ ft {6}) (\ lbperft {10}) = \ lb {30}.\ end {уравнение *}

, а центроид расположен на расстоянии \ (2/3 \) от левого конца, поэтому

\ begin {уравнение *} \ bar {x} = \ ft {4} \ text {.} \ end {уравнение *}

Решение. 2

Распределенные нагрузки могут иметь любую геометрическую форму или определяться математической функцией. Если нагрузка представляет собой комбинацию обычных форм, используйте свойства форм, чтобы найти величину и местоположение эквивалентной точечной силы, используя методы раздела 7.5. Если распределенная нагрузка определяется математической функцией, выполните интеграцию, чтобы найти их площадь, используя методы раздела 7.7.

Несколько замечаний:

  • Вы можете включить распределенную нагрузку или эквивалентную точечную силу на диаграмму свободного тела, , но не обе !

  • Так как вы вычисляете площадь, вы можете разделить ее на любую удобную для вас форму. Итак, если вы не помните площадь трапеции на макушке головы, разбейте ее на прямоугольник и треугольник.

Подраздел 7.8.3 Приложения с распределенной нагрузкой

После преобразования распределенных нагрузок в результирующую точечную силу вы можете решить проблему таким же образом, как и другие проблемы в предыдущих главах этой книги.Обратите внимание, что хотя результирующие силы внешне и эквивалентны распределенным нагрузкам, они не эквивалентны внутренне , как будет показано в главе 8.

Пример 7.8.4. Консольная балка.

Найдите реакции на фиксированном соединении в \ (A \ text {.} \)

Отвечать.

\ begin {align *} A_x \ amp = 0 \\ A_y \ amp = \ N (16) \\ M \ amp = \ Nm {64} \ end {выровнять *}

Решение.

Нарисуйте диаграмму свободного тела, заменив распределенную нагрузку эквивалентной сосредоточенной нагрузкой, затем примените уравнения равновесия.

\ begin {align *} \ Sigma F_x \ amp = 0 \ amp \ amp \ rightarrow \ amp A_x \ amp = 0 \\ \ Sigma F_y \ amp = 0 \ amp \ amp \ rightarrow \ amp A_y \ amp = \ N {16} \\ \ Sigma M_A \ amp = 0 \ amp \ amp \ rightarrow \ amp M_A \ amp = (\ N {16}) (\ m {4}) \\ \ amp \ amp \ amp \ amp \ amp = \ Nm {64} \ end {выровнять *}

Пример 7.8.5. Лучевые реакции.

Найдите реакции на опорах для показанной балки.

Отвечать.

\ begin {уравнение *} B_y = F_y = \ фунт {295}, B_x = 0 \ end {уравнение *}

Решение.1

\ begin {align *} \ сумма M_B \ amp = 0 \\ + (\ lbperin {12}) (\ inch {10}) (\ inch {5}) - (\ lb {100}) (\ inch {6}) \\ - (\ lb {150}) (\ inch {12}) - (\ lb {100}) (\ inch {18}) \\ + (F_y) (\ inch {24}) - (\ lbperin {12}) (\ inch {10}) (\ inch {29}) \ amp = 0 \ rightarrow \ amp F_y \ amp = \ lb {295} \\ \\ \ sum F_y \ amp = 0 \\ - (\ lbperin {12}) (\ inch {10}) + B_y - \ lb {100} - \ lb {150} \\ - \ lb {100} + F_y - (\ lbperin {12}) (\ inch {10}) \ amp = 0 \ rightarrow \ amp B_y \ amp = \ lb {295} \\ \\ \ sum F_x \ amp = 0 \ rightarrow \ amp B_x \ amp = 0 \ end {выровнять *}

Решение.2
  1. Две распределенные нагрузки равны \ ((\ inch {10}) (\ lbperin {12}) = \ lb {120} \) каждая.

  2. Общая направленная вниз сила

    \ begin {уравнение *} W = (2 \ times \ lb {120}) + (2 \ times \ lb {100}) + \ lb {150} = \ lb {590} \ end {уравнение *}

  3. Поскольку балка и нагрузка являются симметричными, опоры \ (B \) и \ (F \) распределяют нагрузку поровну, поэтому

    \ begin {gather *} B_y = F_y = \ frac {\ lb {590}} {2} = \ lb {295} \ конец {собирать *}

  4. На балку не действуют горизонтальные нагрузки, поэтому

    \ begin {gather *} B_x = 0 \ конец {собрать *}

видов нагрузки | Объяснение | Примеры | Диаграммы нагрузки

Есть три типа нагрузки.Эти;

  1. Точечная нагрузка, также называемая сосредоточенной нагрузкой.
  2. Распределенная нагрузка
  3. Сопряженная нагрузка

Точечная нагрузка

Точечная нагрузка - это нагрузка, действующая на небольшом расстоянии . Из-за концентрации на небольшом расстоянии эту нагрузку можно рассматривать как действующую на точку . Точечная нагрузка обозначена P , а символ точечной нагрузки - стрелка, направленная вниз (↓) .

Распределенная нагрузка

Распределенная нагрузка - это нагрузка, действующая на значительную длину или, можно сказать, «на длину, которую можно измерить.Распределенная нагрузка измеряется как на единицу длины.

Пример

Если нагрузка 10 км / фут действует на балку длиной 10 футов. Тогда это можно прочитать как « десять тысяч фунтов нагрузки на фут» . Если это 10 ′ , то общая точечная нагрузка составляет 100 тысяч фунтов на всю длину.

Типы распределенной нагрузки

  1. Распределенная нагрузка делится на два типа.
  2. Равномерно распределенная нагрузка (UDL)
  3. Равномерно изменяющаяся нагрузка (неравномерно распределенная нагрузка).

Равномерно распределенная нагрузка (UDL)

Равномерно распределенная нагрузка - это нагрузка, величина которой остается постоянной по всей длине. Например: Если нагрузка 10 км / фут действует на балку длиной 15 футов. Тогда 10 км / фут действует по всей длине 15 футов.

Равномерно распределенная нагрузка обычно представлена ​​ W и произносится как интенсивность udl по балке, плите и т. Д.

Равномерно распределенная нагрузка на точечную нагрузку

Преобразование равномерно распределенной нагрузки в точечную нагрузку очень просто.Просто умножив на на интенсивность udl на его загрузочную длину . Ответом будет точечная нагрузка, которую также можно произносить как эквивалентная сосредоточенная нагрузка (E.C.L). Концентрический, потому что преобразованная нагрузка будет действовать в центре длины пролета.

Математически , это может быть записано как;

Эквивалент Концентрированная нагрузка = Удельная нагрузка (Вт) x Погрузочная длина

Равномерно изменяющаяся нагрузка (неравномерно распределенная нагрузка)

Это та нагрузка, величина которой изменяется на по длине нагрузки с постоянной скоростью .

Равномерно изменяющаяся нагрузка дополнительно делится на два типа ;

  1. Треугольная нагрузка
  2. Трапецеидальная нагрузка

Треугольная нагрузка

Треугольная нагрузка - это нагрузка, величина которой составляет ноль на одном конце пролета и постоянно увеличивается до 2-го конца пролета. Как показано на схеме;

Трапецеидальная нагрузка

Трапецеидальная нагрузка - это нагрузка, действующая на длину пролета в форме трапеции .Трапеция обычно имеет форму с комбинацией равномерно распределенной нагрузки (UDL) и треугольной нагрузки . Как показано на схеме ниже;

Сопряженная нагрузка

Сопряженная нагрузка - это нагрузка, при которой две равные и противоположные силы действуют на одинакового пролета . Линии действия обеих сил параллельны друг другу , но напротив в направлениях . Этот тип загрузки создает парную нагрузку.
Сопряженная нагрузка, соединенная с , поверните пролет в случае , одна нагрузка на немного больше , чем вторая нагрузка. Если сила на одном конце балки действует вверх на , то такая же сила будет действовать на вниз на противоположный конец балки .

Сопряженная нагрузка выражается как тысяч фунтов · м, кг · м, Н · м, фунт-фут и т. Д.

Что такое сосредоточенная нагрузка?

Сосредоточенная нагрузка - это сила, приложенная к одной точке балки или конструкции.Балки обычно используются для структурной опоры в домах, коммерческих зданиях и мостах. Балка должна быть спроектирована таким образом, чтобы выдерживать силы и нагрузки, при этом сводя к минимуму вес, занимаемое пространство и стоимость материалов. Неправильно спроектированные балки могут преждевременно выйти из строя и иметь катастрофические последствия.

Нагрузка или сила могут быть сосредоточенными или распределенными.Распределенная нагрузка распространяется на большую площадь. Он может быть равномерно распределен, при этом величина силы одинакова по всей площади, к которой она применяется; или неравномерно, что означает, что он распределен неравномерно. Распределенная нагрузка будет влиять на конструкцию балки иначе, чем сосредоточенная нагрузка. Сосредоточенный может применяться в нескольких местах на балке, и на одной балке может существовать несколько точек нагрузки.

В действительности все нагрузки действуют на некоторой конечной площади, а не в одной точке.Когда площадь мала, обычно предполагается, что это сосредоточенная нагрузка, чтобы упростить инженерные расчеты. Например, вес человека на конце трамплина будет считаться сосредоточенным типом нагрузки, даже если вес человека действительно распределяется только на область, покрытую подошвой его ступней.

Двумя наиболее важными характеристиками сосредоточенной нагрузки в конструкции балки являются величина силы и место ее приложения.Способ поддержки балки или конструкции играет важную роль в ее способности выдерживать этот тип нагрузки. Сосредоточенная нагрузка, приложенная к центру длинной балки, которая поддерживается с обоих концов, будет вести себя совсем иначе, чем та же самая нагрузка, приложенная к концу консольной балки.

Сосредоточенная нагрузка может вызвать отклонение или изгиб балки при приложении силы.Дизайн и конструкция балки будут влиять на ее способность противостоять изгибу при воздействии такого веса. Прогиб балки зависит от ее поперечного сечения, от того, как она поддерживается, от материала, из которого она сделана, и от места приложения сил. Стальные балки чаще всего используются в коммерческих зданиях из-за их прочности и устойчивости к изгибу, но балки также производятся с использованием других материалов, таких как дерево и алюминий.

Сосредоточенные нагрузки - важный фактор в машиностроении и проектировании.Балки и конструкции обычно проектируются с учетом запаса прочности, который позволяет им выдерживать нагрузки или другие силы, которые невозможно предсказать при проектировании. Инженерное программное обеспечение доступно для анализа балок и других конструкций на основе их нагрузки и других критериев проектирования, чтобы гарантировать их соответствие требованиям к рабочим характеристикам.

точек и равномерно распределенные нагрузки: понимание разницы

При размещении грузов одинакового веса на стеллаже для хранения важно помнить, что не все поддоны или грузы созданы одинаковыми.Некоторые поддоны имеют несколько досок или стрингеров, охватывающих нижнюю поверхность; у других по ноге в каждом углу. Грузы необычной формы, такие как рулоны стали или рулоны бумаги, также могут создавать проблемы. Конструкция дна поддона в значительной степени определяет, равномерно ли распределяется нагрузка или лежит на определенных точках. Это означает, что распределение веса груза может быть разным, в зависимости от типа поддона под ним или конкретного типа продукта, хранящегося на стеллажной системе.

При помещении в стальные стеллажи для хранения равномерно распределенная нагрузка - это нагрузка, вес которой равномерно распределяется по всей поверхности балок или настила стеллажа. Точечная нагрузка - это нагрузка, вес которой значительно сконцентрирован в одном (или нескольких) местах балок или настилов стеллажа. Например, стальной рулон, хранящийся непосредственно на балке стеллажа, может создавать очень концентрированную точечную нагрузку; даже если стальной рулон весит столько же, сколько груз на поддоне, грузовая балка, вероятно, будет более тяжелой.(Существует также третий тип распределения нагрузки: линейная нагрузка, у которой всего две или три доски на дне, что создает более равномерное распределение веса, чем точечная нагрузка, но менее равномерное, чем равномерно распределенная нагрузка).

Так что это значит для безопасности стойки? Размещение точечной нагрузки в стальном стеллаже для хранения, который был спроектирован исключительно для поддержки равномерно распределенных нагрузок, может вызвать одну из двух ситуаций: чрезмерный прогиб и / или отказ балки или настила.

Отклонение балки: Когда инженер-проектировщик стеллажей определяет спецификации для опорной балки поддонов, максимальная величина допустимого прогиба - или изгиба - включается в расчеты, как указано в разделе 5.3 ANSI Mh26.1-2012 RMI: Спецификация по проектированию, испытанию и использованию промышленных стальных стеллажей для хранения. Предел отклонения равен длине балки по горизонтали, деленной на 180 (т. Е. L / 180). Риск безопасности возникает, если точечная нагрузка помещается на балку, которая рассчитана только на то, чтобы выдерживать вес равномерно распределенных нагрузок.Это связано с тем, что концентрация может привести к отклонению луча за пределы максимально допустимой величины, что приведет к возможному отказу и потенциально может вызвать падение нагрузки.

Отказ настила: Обычно настил изготавливается из сварной проволоки с армирующими швеллерами или гофрированной стали. Настил часто размещается на балках стеллажа для поддонов, чтобы перекрыть расстояние между ними. Хотя это обеспечивает дополнительную поддержку груза поддона, если настил не был должным образом спроектирован для восприятия точечных нагрузок, как указано в ANSI Mh36 RMI.2-2017: Проектирование, изготовление, испытание и использование сварного настила стеллажа из проволоки - сосредоточенная точечная нагрузка может привести к его выходу из строя и падению нагрузки.

Следовательно, чтобы обеспечить наиболее безопасную конструкцию стеллажа для поддонов, квалифицированный инженер-конструктор должен быть проинформирован о типах грузов и поддонах, на которые они будут помещены для хранения. В приложениях, где несколько типов поддонов могут храниться в одной стеллажной конструкции, система должна быть спроектирована так, чтобы выдерживать точечные нагрузки, что является наиболее консервативным и самым безопасным подходом.

Есть еще вопросы о стальных стеллажах? Получите ответы из списка часто задаваемых вопросов RMI.

Инженерное дело в Alberta Courses »Распределенные нагрузки

Силы и моменты: Распределенные нагрузки

В действительности, любая сила, приложенная к телу, распределяется по площади, то есть распределенная нагрузка или давление. Распределенная нагрузка может быть упрощена (или смоделирована) как сосредоточенная сила, когда площадь контакта относительно мала и упрощение не влияет на внешние эффекты (например,грамм. деформация). В этом случае нагрузка на тело обозначается как сосредоточенная нагрузка . Например, силы реакции земли на шины автомобиля можно рассматривать как сосредоточенные нагрузки на силы (рис. 3.32). Другой пример - нагрузка человека, идущего по канату (рис. 3.32). Если мы рассматриваем веревку как тело, вес человека, приложенный к веревке через подошвы ног человека, является нагрузкой на веревку. Силы, действующие на веревку, можно рассматривать как сосредоточенные силы, поскольку площадь контакта между подошвой каждой ступни и веревкой мала.

Рис. 3.32 Примеры сосредоточенных нагрузок.

Однако во многих случаях следует учитывать непрерывное распределение сил на теле. Непрерывно распределенная внешняя сила называется распределенной нагрузкой . Например, вес кучи снега на крыше распределяется по площади крыши (рис. 3.33). Это означает, что на каждую единицу площади приходится некоторая часть общего веса снежной кучи на крыше.

Рис. 3.33 Распределение веса снежной кучи на крыше.

Распределенная нагрузка по площади имеет направление и величину. Направление распределенной нагрузки по площади может варьироваться в разных точках и показано маленькими стрелками по площади. Величина распределенной нагрузки описывается ее интенсивностью , определяемой как сила на единицу площади , или давление . В единицах СИ для распределенной нагрузки используется единица Ньютон на квадратный метр , обозначенная как Паскаль, ,.

В качестве примера рассмотрим сплошную коробку, опирающуюся на часть поверхности стола (рис. 3.34). Вес ящика, передаваемый на стол через основание ящика, которое соприкасается со столом, является распределенной нагрузкой на стол. Эта нагрузка составляет , равномерно и распределенных по столу, как показано на рис. 3.34. Интенсивность нагрузки равна, где - вес ящика, а - площадь соприкосновения основания со столом. Обратите внимание, что, .

Рис. 3.34. Равномерное распределение веса сплошного ящика по площади стола.

Равномерная интенсивность . Распределенная нагрузка с постоянной интенсивностью по площади называется равномерной. Соответственно, равномерно распределенная нагрузка или равномерно распределенная нагрузка имеют то же значение.

По аналогии с весовой нагрузкой коробки на поверхность, величина общей (результирующей) силы, оказываемой равномерной нагрузкой по площади, равна.

Контекст: распределенные нагрузки
  • Хотя многие нагрузки можно идеализировать как силу, действующую в одной точке, во многих ситуациях инженеры используют распределенные нагрузки при проектировании.
  • Распределенная нагрузка может быть либо давлением (например, фунты на квадратный дюйм, килопаскали), либо «линейной нагрузкой» (например, килоньютон на метр). Нагрузки давления обычно используются для проектирования широких элементов, таких как плиты и стены, в то время как линейные нагрузки используются для проектирования узких элементов, таких как балки.
  • Инженеры используют распределенные нагрузки для учета собственного веса элементов (например, балок, перекрытий, окон, подпорных стен), нагрузок от окружающей среды (например, ветра и снега) и внутреннего давления (например,грамм. баллоны под давлением) в конструкциях.
  • Инженеры также используют распределенные нагрузки для проектирования конструкций, где точное расположение сил неизвестно. Например, инженеры не могут предсказать, как люди расставляют мебель и насколько она тяжелая, но, используя исторические данные о жилищных условиях, они могут предположить, что повседневное давление со стороны людей и мебели в жилых домах составляет 1,9 кПа (~ 40 фунтов на квадратный метр). фут), когда они проектируют конструкции такого типа.
Приложения: В каких ситуациях инженеры рассматривают распределенные нагрузки?

До сих пор в этом тексте мы сосредоточились на сосредоточенных силах (или «точечных силах»).На самом деле никакая сила не действует в одной точке (обсуждается в разделе 3.1), но предположение, что силы действуют в одной точке, нормально для многих ситуаций, рассматриваемых инженерами.

Тем не менее, существует множество ситуаций, когда инженерам необходимо учитывать распределенные нагрузки. Например, чтобы гарантировать, что крыша здания на рис. 3.35a не обрушится под весом снега, инженерам необходимо принять во внимание ожидаемую глубину и плотность снега на крыше как давление. Они могут определить наихудшую высоту снежного покрова на основе климатических данных за десятилетия, которые публикуются федеральным правительством для каждого города Канады.Те же проблемы (хотя и труднее увидеть) возникают с ветром, который может толкать или тянуть предметы.

Рис. 3.35 Распространенные ситуации, когда инженеры рассматривают распределенные нагрузки (а) снег на крыше здания (б) открытые бетонные плиты перекрытия в строящейся башне кондоминиума. (Фото Д. Томлинсона)

Еще одним источником распределенных нагрузок является фактический вес самой конструкции. Железобетонные перекрытия жилых домов (рис. 3.35b) обычно имеют толщину около 200 мм, что соответствует давлению около 4.От 5 до 5,0 килопаскалей (кН / м 2 ), что более чем вдвое превышает ожидаемую нагрузку, которую будут испытывать жители квартир (и их персонал).

ПРИМЕР 3.5.1

Цилиндр стоит на столе, его основание имеет диаметр. Вес цилиндра через основание цилиндра переносится на поверхность стола и создает равномерно распределенную нагрузку с интенсивностью. Рассчитайте вес баллона.

РЕШЕНИЕ

Распределенная нагрузка не обязательно распределяется по плоской поверхности.Например, нагрузка давлением внутри цилиндра под давлением (равномерно) распределяется по внутренней поверхности цилиндра (рис. 3.36).

Рис. 3.36. Равномерное распределение давления внутри цилиндра на неровной поверхности.

Как правило, интенсивность нагрузки варьируется в зависимости от области распространения. Например, давление воды (интенсивность водной нагрузки) над плотиной изменяется с глубиной воды (рис. 3.37a), или распределение веса книг на полке может иметь различную интенсивность по всей полке (рис.3.37b).

Рис. 3.37 (а) Давление воды (интенсивность водной нагрузки) над плотиной, (б) распределение веса книг на полке.

Математически интенсивность нагрузки является функцией положения на площади. Следовательно, интенсивность может быть определена функцией по точкам области. Эту функцию можно построить в трех измерениях, рассматривая точки распределенной области по осям x и y , а значения интенсивности - по оси z .

В этой книге рассматривается особый тип распределенной нагрузки, известный как распределенная нагрузка вдоль линии или оси . Реалистичные нагрузки во многих задачах инженерной практики моделируются или подробно представлены этим типом нагрузки.

Распределенная нагрузка по оси

Распределенная нагрузка по площади может изменяться только в одном направлении или оси и быть постоянной в другом направлении. Рассмотрим распределенную нагрузку по верхней поверхности прямоугольной пластины, как показано на рис.3.38. Декартова система координат размещается на пластине с ее началом, расположенным на одном конце пластины, и осью x вдоль центральной линии ширины пластины (ось y параллельна ширине пластины). плита). Интенсивность нагрузки является функцией x и y по площади пластины.

Рис. 3.38 Распределенная нагрузка по верхней поверхности прямоугольной пластины.

В этом случае интенсивность нагрузки постоянна по оси y .Следовательно, интенсивность зависит только от x и может быть описана функцией x как. Удобнее определять функцию интенсивности, описывающую нагрузку на единицу длины , а не на единицу площади, путем записи. Единица измерения в системе СИ - Ньютон на метр,. Нагрузка, описываемая как, приложена вдоль оси x (рис. 3.39a). Двумерного представления рис. 3.39a, как показано на рис. 3.39b, достаточно для большинства анализов.

Инжир.3.39 Распределенная нагрузка на единицу длины по центральной линии прямоугольной пластины.

Во многих инженерных задачах нам нужно найти приблизительное значение. Здесь приводится один пример для пояснения концепции нагрузки на единицу длины.

Упрощение распределенной нагрузки по оси

Во многих задачах, таких как равновесие твердых тел (раздел 5.2) или расчет опорной реакции, распределенная нагрузка может быть представлена ​​сосредоточенной нагрузкой по причинам простоты без изменения ее эффектов в расчетах.Эквивалентная система распределенной нагрузки, показанная на рис. 3.40, состоит из равнодействующей силы в определенном месте. Эквивалентная система получается на основе упрощения компланарной системы сил до равнодействующей силы (см. Раздел 3.4.2 и пример 3.4.5).

Рис. 3.40 Распределенная нагрузка и предполагаемая эквивалентная система.

Во многих задачах форма функции интенсивности нагрузки проста и может быть легко вычислена. На рис. 3.41 показаны результирующая сила и два распространенных распределения нагрузки.

Рис. 3.41 Два простых распределения нагрузки и положения их равнодействующих сил.

Величина результирующей силы - это площадь под функцией интенсивности и координата центроида формы области под функцией интенсивности. В следующих параграфах показан общий расчет и. Студентам предлагается прочитать их после приобретения твердых знаний в области математического анализа.

Для определения величины равнодействующей силы общая длина распределенной нагрузки разделяется на элементы (сегменты) одинаковой длины длиной (рис.3.42). Если достаточно мало, то почти равномерно по элементу и, следовательно, величина силы, действующей на элемент, равна. Величина приблизительно определяется суммированием как,

Точное значение получается путем увеличения числа делений до бесконечности

ведет к,

(3,27)

Рис. 3.42. Разделение оси нагрузки на n элементов.

Геометрическая интерпретация этого интеграла - площадь под функцией интенсивности нагрузки

(3.28)

где - элемент площади, как показано на рис. 3.43.

Рис. 3.43. Геометрическая интерпретация интегралов.

Местоположение определяется путем уравнивания моментов сил вокруг точки в двух системах (рис. 3.40). Точка для расчета моментов может находиться в любом месте оси x , однако обычно выбирается любой конец длины, по которой распределяется нагрузка. Выбираем точку, расположенную в начале оси x (рис.3.40). Приравнивание моментов двух систем записывается как,

, что эквивалентно следующему интегралу,

и (по формуле 3.27) приводит к,

(3,29)

Учитывая геометрический смысл этого интегрирования (рис. 3.43), запишем уравнение. 3.29 as,

(3.30)

, который можно рассматривать как геометрическую интерпретацию уравнения. 3.29. Точка, связанная с координатой, представляет собой геометрические свойства формы участка под диаграммой (графиком) функции интенсивности нагрузки.Это называется координатой центроида формы области. Концепция центроида будет представлена ​​в Разделе 9.3.

Точечная нагрузка против равномерно распределенной нагрузки

Являясь лидером на рынке опор для поверхностей, мы постоянно учитываем грузоподъемность. При разработке новых продуктов в первую очередь мы думаем о несущей способности и соответствующем коэффициенте деформации.Конечно, сила, приложенная к кронштейну, имеет множество характеристик. Эти характеристики в равной степени влияют на результирующий прогиб. Все нагрузки вызывают некоторое отклонение, но распределение этой нагрузки может сильно повлиять на величину отклонения. Этот ресурс покажет, как размещение нагрузки может повлиять на прогиб и общую грузоподъемность. Также будет указано, как это спланировать в определенных приложениях.

Существует два основных типа нагрузки, которые наиболее часто используются при определении прогиба опорной распорки: точечная нагрузка (PL) и равномерно распределенная нагрузка (UDL).Следующие ниже примеры будут основаны на опорах с одним фиксированным концом (консольные балки).

Точечная нагрузка

Точечная нагрузка - это сила, приложенная к сосредоточенной точке опоры. Примером может служить человек, стоящий на свободном конце трамплина.

Равномерно распределенная нагрузка

Равномерно распределенная нагрузка - это сила, которая прилагается равномерно по всей длине опоры. Для наименьшего возможного отклонения эта нагрузка распределяется по всей длине опоры.Примером может служить транспортный ящик на вилочном погрузчике.

В строительстве UDL предпочтительнее точечных нагрузок. При равномерно распределенной нагрузке вероятность изгиба и / или разрушения опоры значительно снижается по сравнению с ситуацией точечной нагрузки. Сосредоточенные нагрузки чаще вызывают изгиб. Ниже приведены изображения реальных экспериментов с обоими упомянутыми типами нагрузки, а также с размещением нагрузки, показывающие, как эти факторы влияют на прогиб.

Консоль, использованная в этом эксперименте, представляет собой простую металлическую линейку, закрепленную на одном конце для поддержки конструкции.Равномерно взвешенные магниты использовались для обозначения типов нагрузки на линейке. Это простой способ показать визуальные изменения отклонения.

PL - свободный конец

Проиллюстрированное размещение точечной нагрузки на свободном конце консоли вызовет наибольший прогиб из всех показанных конфигураций. Не так уж много случаев, когда вы хотели бы разместить свой тяжелый груз на самом дальнем конце вашей опоры. Примером того, когда это может произойти, может быть человек, опирающийся или сидящий на краю нависающей барной стойки.

PL - Средний

Как показано на этом изображении, точечная нагрузка, размещенная на половине расстояния от опоры, фактически приводит к примерно ⅓ максимального прогиба, возникающего в результате точечной нагрузки на свободном конце. Это показывает, что по мере приближения PL к неподвижному концу отклонение экспоненциально уменьшается.

PL - Фиксированный конец

Размещение точечной нагрузки в непосредственной близости от неподвижного конца опоры значительно снижает максимальный прогиб. С точки зрения конструкции это наиболее безопасное место для нанесения PL на консольную опору.

UDL - Полная длина

Как показано выше, равномерно распределенная нагрузка при том же весе, что и ранее показанный PL, равномерно распределенная по всей длине опоры, приведет к примерно прогиба PL на свободном конце.

Сравнение размещения нагрузки

При разработке распорок и опор для удерживания стоек, рабочих станций и других плавающих поверхностей мы включаем тестирование грузоподъемности скоб, чтобы убедиться, что они эффективно и надежно выдержат необходимый вес.Чтобы помочь нашим клиентам в выборе подтяжек для своих проектов, мы ссылаемся на несущие способности, полученные в ходе этого тестирования. Говоря о грузоподъемности любого продукта Federal Brace, следует отметить, что грузоподъемность основана на использовании с равномерно распределенной нагрузкой. Чтобы ознакомиться с нашими продуктами или просмотреть другие полезные ресурсы, посетите сайт FederalBrace.com

.

Определение приложенных нагрузок

Панель управления нагрузкой

Панель инструментов
Подменю

также доступны для определения или изменения различных узлов и элементов. нагрузки.Эти подменю появляются сбоку от экрана. Типы Доступны следующие нагрузки: сосредоточенные нагрузки в узлах, моменты прикладываемые в узлах, моменты, прикладываемые на концах стержней, равномерно или линейно распределенные нагрузки по элементам, колебания температуры, приложенные к элементы и глобальные грузовые поезда (временная нагрузка для мостов).

Вариант нагружения и Комбинация нагрузок Кнопки меню только активен в Advanced Edition (см. Advanced Выпуск ).


Общая информация

  • Определение нагрузки
    Система определения нагрузок следует тем же процедурам, что и система определения нагрузок. определяет свойства члена. Тип нагрузки, связанной с предоставленным пользователем имя создается и добавляется в соответствующий список загрузки. Рисунок ниже показывает раскрывающийся список распределенных нагрузок, определенных пользователем в специфический анализ.Значения нагрузки, связанные с выбранным именем: автоматически отображается в полях подменю и может редактироваться.

    Значки, показанные на рисунке ниже, используются для управления нагрузкой в список:

    Текущая нагрузка будет применена к выбранным элементам (стержням или узлы). Необходимо выбрать интересующие элементы и приложить нагрузку. через кнопку для участников или кнопка для узлов.

  • Система координат в Ftool
    В Ftool есть система структурных глобальных осей и система локальных оси для каждого из элементов. В глобальной системе глобальный X - ось горизонтальна и положительна слева направо; глобальный Y - ось вертикальная и положительная снизу вверх; и global Z - ось всегда положительна наружу от дисплея.В местная система координат элементов, местная ось x совпадает с продольная ось стержня с положительным направлением, следующим за создание члена; то есть от начального узла к конечному узлу. В local x - направление оси можно отобразить, выбрав элемент . Параметр Ориентация в меню Отображение (см. Элементы управления визуализацией - Дисплей Меню ). Местная ось y перпендикулярна оси x - ось.Ось z стержня всегда положительна наружу. с дисплея. Положительное направление местного y затем следует за Правило правой руки векторных кросс-произведений: y = z x .

  • Приложение сосредоточенных нагрузок
    Сосредоточенные нагрузки (силы и моменты) могут быть приложены только к узлам состав. Конечно, сосредоточенные нагрузки могут быть приложены вдоль пролета член.Однако для простоты пользовательского интерфейса была принята политика только приложение сосредоточенных нагрузок в узлах. Если необходимо применить сосредоточенная нагрузка на стержень, вставьте новый узел в желаемое положение, тем самым разделив элемент на два элемента. Сосредоточенные нагрузки всегда применяется в направлениях глобальных осей конструкции, положительно, когда силы имеют направления глобальной оси и отрицательны, когда они имеют противоположное направление. Положительные сосредоточенные моменты применяются в против часовой стрелки.

  • Ориентация для распределенных нагрузок на стержень
    Распределенные нагрузки по стержню могут быть указаны в рамках глобального координаты или в рамках локальных координат элемента. Нагрузки положительный, если они совпадают с направлением глобального или локального топоры.

  • Частично распределенные нагрузки на стержни
    Новые узлы могут быть введены вдоль элемента для приложения распределенных нагрузок, которые воздействовать на часть длины элемента.Что касается сосредоточенных нагрузок (см. выше), это сделано для простоты пользовательского интерфейса.

  • Снятие нагрузки с узлов и элементов
    Чтобы снять нагрузку с выбранных узлов или элементов, выберите первый элемент (НЕТ) соответствующей загрузки раскрывающегося списка и применить это к выбранным объектам. Другими словами, «снять нагрузку с выбранные объекты в Ftool ничего не должны применять ". Пользователь также может использовать кнопка.


Узловые нагрузки

Это подменю позволяет пользователю определять сосредоточенные нагрузки на конструкцию. узлы. Он использует глобальную систему координат.


Моменты, влияющие на участников

Это подменю позволяет пользователю определять сосредоточенные моменты на концах члены. Моменты, приложенные против часовой стрелки, положительны.«Ма» обозначает момент, приложенный к «начальному» узлу член, а «Mb» - момент, применяемый в «конечный» узел члена.

Линейные и равномерно распределенные нагрузки

Это подменю позволяет пользователю определять линейно изменяющиеся или равномерно распределенные нагрузки по члену. Пользователь может указать глобальный или локальный система координат стержня для направления нагрузки.


Термические нагрузки (изменения температуры)

Это подменю позволяет пользователю определять линейный градиент температуры в глубина стержня. Пользователь указывает температуру на верхнем крае секций. (т.е. на положительной стороне локальной оси y ) и на нижнем крае (т.е. на отрицательной стороне локальной оси y ).Ftool должен иметь доступ к глубина сечения, чтобы наложить эту нагрузку даже для "общего" разделы.


Грузовые поезда (транспортные средства для мостов)

Это подменю позволяет создавать динамические нагрузки (например, на мостах). которые используются для расчета огибающих внутренних сил (см. Результаты - Панель инструментов огибающих загрузки-поезда ). А грузовой поезд состоит из сосредоточенных сил, равномерно распределенных сил и временные нагрузки (представляющие количество небольших транспортных средств на мосту).Сосредоточенные и распределенные нагрузки принимаются по вертикали сверху-снизу. направление. Следовательно, согласно соглашению о знаках Ftool, все загружаемые значения отрицательные. В случае, если пользователь не вводит отрицательный знак для значение загрузки, программа автоматически меняет знак этого значения.

Матрицы сосредоточенной и распределенной нагрузки изменяют свой размер. автоматически: как только пользователь начинает заполнять последнюю строку каждой матрицы, под ним создается новая строка.Нагрузки можно удалить, установив нагрузку значения к нулю или выбрав нужные строки и нажав кнопку Delete клавиша на клавиатуре. Затем матрица также изменит свой размер. соответственно.

Текущая выбранная грузовая поездка может быть определена в раскрывающемся списке на в правом верхнем углу окна программы. Этот раскрывающийся список только включается, если в строке влияния или огибающей линии нагрузки режимы результатов и / или если в меню определения поезда.

  • Ударный фактор
    Это коэффициент усиления, который глобально умножает все эффекты. грузового поезда и позволяет учесть динамическое воздействие на состав. Значение этого коэффициента всегда должно быть больше единицы.

  • Длина поезда
    Эта длина расширения ограничивает применение концентрированных, распределенных и внутренние временные нагрузки.

  • Сосредоточенные силы
    Сосредоточенные силы грузового поезда задаются с помощью матрицы с двумя столбцы со следующими параметрами:

    • x - положение сосредоточенной силы по отношению к грузовому поезду начало;
    • P - величина сосредоточенной силы.

    Не допускается создание более одной сосредоточенной силы на одном одиночное положение, или за пределами грузового поезда (определяется его длина).Чтобы добавить концентрированную силу к текущему грузовому поезду, сначала введите позицию силы, затем ее значение. Поскольку другие сконцентрированные силы вставлены, они упорядочены в соответствии с их положением.

  • Равномерно распределенные силы
    Матрица распределенных сил варьируется в зависимости от типа грузовой поезд. В случае грузового поезда, который имеет отдельные значения распределенных сил, матрица имеет три столбца для следующих параметров:

    • xa - начальное положение распределенной силы относительно начало грузового поезда;
    • xb - конечное положение распределенной силы по отношению к поезду начало;
    • q - величина распределенной силы.

    В случае грузового поезда, в котором есть полные и порожние вагоны, q становится значение распределенной силы для полной машины и матрица имеет дополнительный столбец для следующего параметра:

    • q ’ - значение распределенной силы для пустого вагона в железнодорожный грузовой поезд.

    Перекрытие распределенных сил не допускается. Начальное и конечное положения распределенных сил должны находиться в пределах удлинения (длины) грузового поезда.К добавить распределенную силу к грузовому поезду, сначала введите его начальную и конечную затем позиционирует значение (я) нагрузки. В случае железнодорожного грузового поезда, первое значение нагрузки, которое нужно вставить, - q , а затем q ’. При добавлении других распределенных сил они упорядочиваются в соответствии с их начальное и конечное положения. Когда xa больше xb , или q меньше q ’, эти значения автоматически перевернутый.Можно изменить тип грузового поезда даже после добавлены распределенные силы. При трансформации грузового поезда с однозначное распределенное усилие на грузовой поезд с двойным распределением значение нагрузки, q ’ установлено равным q .

  • Живые нагрузки
    Есть два типа живых нагрузок, которые представляют население малых машин на мосту:

    • Внешний: применяется вне пределов (длины) тока грузовой поезд;
    • Интерьер: применяется в пределах (продолжительности) действующего грузовой поезд.

    Динамические нагрузки могут быть частично приложены вдоль пути грузового поезда на состав. Участки пути, на которых действуют временные нагрузки, зависят от по линиям влияния. Эти части определены для максимизации или минимизации целевой эффект. Максимальное значение эффекта достигается при использовании временная нагрузка только на положительных участках линии влияния этого эффект; и минимальное значение достигается при действии временной нагрузки только на отрицательные части линии влияния.

.

Добавить комментарий